[세상에서 가장 쉬운 통계학 입문] 을 읽고 -표본평균 1-2

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표본평균 1

: 여러 데이터의 평균값은 한 데이터의 평균값보다
모평균에 가깝다.

표본평균을 구하는 이유

• 표본평균
  모집단에서 발생한 표본 데이터를 모두 합하고,
  데이터 총 개수로 나누어 평균을 구하는 것
  (모평균과는 다르다)

• 관측 데이터를 증가시키면 증가시킬수록 표본평균이 모평균에 가까울 가능성이 높아진다.

• $\bar{x}$ 표본평균은 엑스바로 읽는다.

표본평균=(관측된 데이터 합계) $\div$ (관측 데이터 총 개수)

※ 대수의 법칙
하나의 모집단에서 n개의 데이터를 관측하고,
그 표본평균 $\bar{x}$ 를 만든다.
이때, n이 크면 클수록 표본평균은 모평균 $\mu$에 가까운 수치를 구현할 가능성이 커진다.

※ 모평균과 표본평균의 차이

• 모평균
  모집단의 전체 데이터의 평균을 나타냅니다.
  하지만, 모든 데이터를 수집하는 것은 어렵기 때문에,
  흔히 모집단의 특정 부분을 대표하는 표본을 추출하여 분석

• 표본평균
  전체 모집단에서 뽑아낸 일부 데이터 집합의 평균입니다. 표본평균은 실제 모평균을 추정하는 데 사용되며,
  모집단의 특성을 대표하는 데 도움이 됩니다.

=> 표본평균이라는 기술은 모평균을 더 정확하게 맞추는 추정을 하기 위한 방법

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표본평균 2

: 관측 데이터가 늘어날수록 예언 구간은 좁아진다

1.정규분포에서 보이는 표본평균의 성질

• 정규모집단
  모집단이 정규분포 하고 있는것

• 정규모집단에서의 표본평균의 성질
  정규모집단의 모평균을 $\mu$ ,모표준편차를 $\sigma$라고 할 때,
  여기에서 예측된 데이터 x의 n개에 대한 표본평균 $\bar{x}$의 분포는 역시 정규분포한다.
  $\bar{x}$의 분포 평균값은 $\mu$ 그대로지만,
  표준편차는 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$가 되어서 모집단에 비해 $\sqrt{n}$ 분의 1로 줄어든다.

2.정규모집단에서의 표본평균에 대한 95% 예언적중구간

• 일반정규분포의 95% 예언적중구간
  평균값이 $\mu$이고,표준편차가 $\sigma$인 정규분포의 95% 예언적중구간은
  ($\mu$ -1.96$\sigma$)이상 ($\mu$ +1.96$\sigma$) 이하
  => 이것을 정규모집단으로 바꾸어,
  모평균 $\mu$에서 모표준편차 $\sigma$인 1.96배의 범위 내에 있는 데이터가 관측된다고 예언하면,
  이것은 95%의 확률로 적중한다는 말이 된다.

• 정규모집단에서 표본평균의 95% 예언적중구간
  모평균이 $\mu$이고,모표준편차가 $\sigma$인 정규모집단에서 데이터 n개의 표본평균에 대한 95% 예언적중구간은 ($\mu$ -1.96$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$) 이상 ($\mu$ +1.96$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$)

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