[나만 보는 정리노트][르베그 적분 시리즈] 00. 측도

측도가 무엇인지 알기 위해 우선 $\sigma$-대수에 대해 알아야 한다.

집합 $\Omega$의 부분집합들을 원소로 하는 집합 $B$가 아래 조건을 만족할 때 $B$를 $\sigma$-대수라고 정의한다.

• $\varnothing \in B$
• $E\in B \Rarr E^c\in B$
• $E_1, E_2, \cdots\in B \Rarr \displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infin}{E_i}\in B$

집합 $\Omega$, $\Omega$의 부분집합을 원소로 하는 $\sigma$-대수 $B$, 집합함수 $\mu:S\in B\rarr [0, \infin )$가 존재할 때 다음 조건을 만족하는 $\mu$를 측도라 하고, $(\Omega, B, \mu)$를 측도 공간이라 한다.

• $\mu(\varnothing)=0$
• 만일 $E_i\,(\,i=1, 2, \cdots)$가 서로소인 가측 집합이라면, $\mu\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infin}{E_i}\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infin}{\mu\left( E_i\right)}$가 성립한다.

측도공간 $(X, \mathcal{M}, \mu)$와 $A, B\in\mathcal{M}$에 대하여 다음이 성립한다.

• $A \sube B \Rarr \mu(A) \leq \mu(B)$
• $A\sube B, \,\mu(A)<\infin$면 $\mu(B-A)=\mu(B)-\mu(A)$