[나만 보는 정리노트][르베그 적분 시리즈] 03. 르베그 측도

르베그 측도에서는 전체 집합의 길이를 가산개로 분할된 부분 집합들의 길이의 합으로 정의한다.
물론, 당연하게도 구간 $[a, b]$의 길이는 $b-a$로 정의한다.

르베그 측도 역시 르베그 외측도 $\lambda^*:\mathcal{P}(\R)\rarr \left[0,\infin \right)$가 존재하며, 그 식은 다음과 같다.
$\displaystyle\lambda^*(S)=\inf \left\{ \sum_{i=1}^{\infin} |b_i-a_i|:a_i, b_i\in\R, S\subseteq \bigcup_{i=1}^{\infin}[a_i, b_i]\right\}$

집합 $S$를 포함하는 닫힌구간들의 길이의 합의 하한이다.

르베그 가측 집합은 다음 조건을 만족시키는 집합 $S\sube \R$을 말한다.

• $\forall \,T\sube \R \quad\lambda^*(T)=\lambda^*(T\cap S) +\lambda^*(T-S)$

르베그 가측 집합에서의 르베그 외측도 $\lambda^*$를 르베그 측도 $\lambda$로 정의한다.

르베그 가측 집합을 정의역으로 갖는 함수는 (르베그) 가측 함수라고 부른다.

한 점 집합 $\{a\}$의 르베그 측도 $L$을 구해보자.
임의의 양수 $\epsilon$에 대해 $\{a\}\sub[a-\epsilon, a+\epsilon]$이 성립한다.

$[a-\epsilon, a+\epsilon]$의 르베그 측도는 $2\epsilon$이고, 따라서 $0\leq L< 2\epsilon$이다. 엡실론 논법에 의하여 $L=0$이 된다. 즉 어떤 한 점 집합의 르베그 측도는 $0$이다.

이를 이용해 열린구간의 르베그 측도도 알 수 있다.

$[a, b]=\{a\}+(a,b)+\{b\}$로 나타낼 수 있고,
따라서 르베그 측도를 $\mu$라 할 때 $\mu([a, b])=\mu(\{a\})+\mu((a,b))+\mu(\{b\})$이며,
위의 정리에 따라 $b-a=\mu((a, b))$이다.

이를 활용해 마침내 르베그 적분을 정의할 수 있다.