[나만 보는 정리노트][르베그 적분 시리즈] 04. 르베그 적분의 개념적 이해

르베그는 1926년 5월 코펜하겐에서 강의 도중 다음과 같이 말했다 :

“연속함수 $f(x)$에 대해 $[a, b]$를 점점 더 작은 구간 $(x_i, x_{i+1})$로 나누는 것은 $(x_i, x_{i+1})$에서 $f(x)$의 하한과 상한인 $\underline{f}$와 $\overline{f}$의 차를 점점 더 작게 만드는 것이 명백하고 그렇기에 $S=\displaystyle\sum_{i}{f(\xi_i)\Delta x_i}$의 극한이 존재한다. 그러나 불연속함수에 대해서도 같은 경우가 될 이유가 없다. 이를 해결하려면 $[a, b]$를 나누는 것이 아니라 $[a, b]$에서 하한과 상한이 경계가 되는 구간 $[\underline{f}, \overline{f}]$를 분할해야 하는 것이 분명하다.”

르베그 적분의 아이디어는 이와 같다. 기존에 $x$축을 분할했던 리만 적분과 달리 $y$축을 분할하는 것이다. 이 개념을 식으로 나타내면 다음과 같다.
$\displaystyle\lim_{n\rarr\infin}{\sum_{k=1}^n}\left\{\inf (Y_k) \times \mu(X_k)\right\}$
$Y_k$는 $n$개로 분할된 $y$축의 각 소구간을 의미하고, $X_k=\{x\,|\,f(x)\in Y_k\}$이다.

개념적으로 이해하면 이와 같고, 다음 시간에는 단순 함수의 상한으로 르베그 적분을 정의하는 방법을 알아볼 것이다.