[나만 보는 정리노트][르베그 적분 시리즈] 05. 르베그 적분 정의

저번 시간에 대충 르베그 적분이 무엇인지는 알고 넘어갔다.
이번 시간에는 지시 함수와 단순 함수를 이용하여 르베그 적분을 정의하는 과정에 대하여 알아보자.

지시 함수 $1_A(x)$는 $1_A(x)=\begin{cases} 1\quad x\in A\\ 0 \quad x \notin A \end{cases}$로 정의되는 함수이다.

집합 $S$ 위의 단순 함수 $\phi$는 치역이 유한한 함수이며, 가측 함수이다.
단순 함수는 지시 함수들의 유한합으로 나타낼 수 있을 것이다. 즉, $\phi=\displaystyle\sum_{i}a_i1_{S_i}$로 나타낼 수 있다.

이를 측도 $\mu$에 대해 르베그 적분한 결과를 $\displaystyle\int_S{\phi(x)}d\mu=\sum_i{a_i\mu(S_i)}$로 정의한다.

일반적인 가측 함수 $f(x)$의 적분은 이 단순 함수의 적분을 이용한다. 한마디로, 극한을 취하면 단순 함수로 모든 함수를 근사할 수 있을 것이란 아이디어이다.

이때 음이 아닌 가측 함수의 적분만 생각해 주면 되는데, 음의 값을 갖는 가측 함수의 경우에는 음이 아닌 가측 함수의 적분에 마이너스를 곱한 것으로 생각할 수 있기 때문이다.

음이 아닌 가측 함수 $f$에 대해 $0\leq\phi_1(x)\leq\phi_2(x)\leq\cdots\leq f(x)$를 만족하는 증가하는 함수열 $\{\phi_n\}$을 생각할 수 있다.

함수열은 말 그대로 각 항이 함수인 수열을 말한다.

단순 함수열 $\{\phi_n\}$은 끝내 $f(x)$에 수렴할 것이고, 즉 $\sup\{\phi_n\}=f$가 될 것이다. 이에 따라 집합 $S$ 위에서 정의된 함수 $f$의 측도 $\mu$에 대한 르베그 적분은 $\displaystyle\int_S{f}d\mu=\sup\left\{\int_S{\phi}\,d\mu\,|\,0\leq\phi\leq f,\,\, \phi는\,\,단순\,\,함수\right\}$로 정의된다.

가측 집합 $S$ 위의 유계 함수 $f$의 르베그 적분 가능성은 $\displaystyle\int_S{f}d\mu<\infin$로 판단한다.