[나만 보는 정리노트][르베그 적분 시리즈] 07. 수렴 정리

집합 $X$ 위에서 함수열 $\{f_n\}$이 함수 $f$에 균등수렴한다는 것은 수식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$\forall \epsilon >0,\,\exist N\in\N\quad s.t.\, n\geq N \Rarr \displaystyle\sup_{x\in X}|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$
함수열 $\{f_n\}$이 리만 적분 가능한 함수 $f$에 균등수렴한다면 극한과 적분의 교환이 성립한다. 즉,

$\displaystyle\int_E{f}=\int_E\lim_{n\rarr\infin}{f_n}=\lim_{n\rarr\infin}\int_E{f_n}$

그러나 균등수렴은 아주 강한 조건이기에 만족하지 못하는 경우가 많다.

르베그 적분은 이보다 훨씬 약한 조건 하에서도 극한과 적분의 교환이 성립하는데, 그 조건들을 정리해 놓은 것을 르베그 적분의 수렴 정리라고 한다.

단조 수렴 정리, 지배 수렴 정리가 있다.

단조 수렴 정리는 측도 공간 $(E, \mathcal{M}, \mu)$ 위의 집합 $E$에서 음이 아닌 가측 함수열 $\{f_n\}$이 단조 증가열이며 $a.e.$ 함수 $f$에 수렴할 때 $\displaystyle\int_E{f}=\int_E\lim_{n\rarr\infin}{f_n}=\lim_{n\rarr\infin}\int_E{f_n}$가 성립한다는 정리이다.

간단하게 증명해보자.

$f=\displaystyle\lim_{n\rarr \infin}{f_n}$이므로 $\displaystyle\int_Ef=\int_E\lim_{n\rarr \infin}f_n$이다.

임의의 $n\in\N$에 대해 $f_n\leq f$이므로 $\displaystyle\int_E{f_n}\leq\int_E{f}$이 성립한다.
따라서 $\displaystyle\lim_{n\rarr \infin}\int_Ef_n\leq\int_E{f}$가 성립한다.

$\forall x\in E:s(x)\leq f(x)$인 단순함수 $s(x)$를 생각하자. 임의의 $n\in \N$에 대해서
$A_n=\{x\in E:s(x)\leq f_n(x)\}\in \mathcal{M}$
라고 하면 $A_1\sube A_2\sube\cdots$이며, $\displaystyle\lim_{n\rarr\infin}{A_n}=E$이다.

또한 임의의 $n\in\N$에 대하여
$\displaystyle\int_{A_n} s\leq\int_{A_n} f_n \leq \int_E f_n$이다.

$n\rarr \infin$에서
$\displaystyle\int_E{s}\leq \lim_{n\rarr\infin}\int_E{f_n}$이고

르베그 적분의 정의에 따라
$\displaystyle\int_E{f}\leq \lim_{n\rarr\infin}\int_E{f_n}$이다.

$\,$
$\displaystyle\lim_{n\rarr \infin}\int_Ef_n\leq\displaystyle\int_E{f}\leq \lim_{n\rarr\infin}\int_E{f_n}$이므로

$\displaystyle\lim_{n\rarr \infin}\int_Ef_n=\int_Ef$

$\therefore\displaystyle\int_Ef=\int_E\lim_{n\rarr \infin}f_n=\displaystyle\lim_{n\rarr \infin}\int_Ef_n$

$\,$

$\,$

지배 수렴 정리는 집합 $E$에서 가측 함수열 $\{f_n\}$과 적분 가능한 함수 $g$가 있을 때 $a. e.\,|f_k(x)|\leq g(x)\,\,(k=1, 2, 3,\cdots)$를 만족한다고 할 때, $\{f_n\}$이 $a.e.$ 함수 $f$에 수렴하면 $\displaystyle\int_E{f}=\int_E\lim_{n\rarr\infin}{f_n}=\lim_{n\rarr\infin}\int_E{f_n}$가 성립한다는 정리이다.