[나만 보는 정리노트][르베그 적분 시리즈] 08. 리만-르베그 보조정리

리만 르베그 보조정리는 다음과 같다.

만일 함수 $f$가 구간 $(-\infin , \infin)$에서 르베그 적분 가능하면
$\displaystyle\lim_{\omega\rarr \infin}\int^\infin_{-\infin}{f(t)e^{-i\omega t}}dt=0$임이 성립한다.

이를 지배 수렴 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

지배 수렴 정리는 집합 $E$에서 가측 함수열 $\{f_n\}$과 적분 가능한 함수 $g$가 있을 때 $a. e.\,|f_k(x)|\leq g(x)\,\,(k=1, 2, 3,\cdots)$를 만족한다고 할 때, $\{f_n\}$이 $a.e.$ 함수 $f$에 수렴하면 $\displaystyle\int_E{f}=\int_E\lim_{n\rarr\infin}{f_n}=\lim_{n\rarr\infin}\int_E{f_n}$가 성립한다는 정리이다.

우선 오일러 공식 $e^{ix}=\cos x +i\sin x$에 따라 $\displaystyle\int^\infin_{-\infin}{f(t)e^{-i\omega t}}dx=\int_{-\infin}^\infin{f(t)\cos \omega t dt}-i\int_{-\infin}^\infin{f(t)\sin \omega t dt}$

또한 복소수의 크기는 실수부$^2+$허수부$^2$이므로 복소지수함수 $e^{ix}$의 크기 $|e^{ix}|$는 $x$에 관계없이 $1$이다.

따라서 $\left|e^{-i\omega t}f(t)\right|=\left|f(t)\right|$가 성립한다.

함수열 $g_n(x):=\displaystyle\int^\infin_{-\infin}{f(t)e^{-int}dt}$라 하면 $\left|g_n(x)\right|\leq \displaystyle\int^\infin_{-\infin}{\left|f(t)\right|dt}$이고, 따라서 지배 수렴 정리가 성립한다.

그러므로 지배 수렴 정리에 따라
$\displaystyle\lim_{\omega\rarr \infin}\int^\infin_{-\infin}{f(t)e^{-i\omega t}}dt=\int^\infin_{-\infin}{f(t)\lim_{\omega\rarr \infin}{e^{-i\omega t}}dt}$이 성립한다.

여기서 $\displaystyle\lim_{\omega\rarr\infin}{e^{-i\omega t}}$를 구하기 위해서는 약수렴(weak convergence)의 개념을 알아야 한다. 어떤 수열 $x_n$과 힐베르트 공간 위의 $y$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\rarr\infin}{\left<x_n,y\right>=\left<x,y\right>}$를 만족하면 $x_n$이 $x$로 약수렴한다고 한다.

정규직교로 구성된 수열 $e_n$이 있다고 하자. 정규직교로 구성된 수열은 내적 $\left< e_n, e_m\right>=\delta_{nm}$을 만족하는 수열이다. $\delta_{nm}$은 $n=m$일 때 $1$이고 $n\ne m$일 때 $0$인 함수이다. $e^{inx}$는 가장 대표적인 정규직교 함수열이다.

이 수열 $e_n$은 베셀 부등식에 따라서 힐베르트 공간 위의 $x$에 대해 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}{\left|\left<e_n, x\right>\right|^2}\leq\|x\|^2$을 만족한다. $x$와 $y$의 내적이 둘 사이의 유사도를 의미함을 생각하면 당연할 것이다.

수열의 급수가 수렴하면 수열의 극한이 $0$으로 수렴한다. 따라서 힐베르트 공간 위의 모든 $x$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\rarr \infin}\left<e_n, x\right>=0$이다. 즉 $\displaystyle\lim_{n\rarr\infin}{e_n}$은 힐베르트 공간 위의 모든 $x$에 대해 직교한다.

이는 $n\rarr\infin$에서 $\left<e_n, e_n\right>=\|e_n\|=0$이라는 말이고, 이를 만족하는 $e_n$은 영벡터밖에 없다. 즉 $\displaystyle\lim_{n\rarr\infin}e_n=0$이다. 따라서 $\displaystyle\lim_{n\rarr\infin}e^{inx}=0$이다.

위의 식에서 $\displaystyle\lim_{\omega\rarr \infin}\int^\infin_{-\infin}{f(t)e^{-i\omega t}}dt=\int^\infin_{-\infin}{f(t)\lim_{\omega\rarr \infin}{e^{-i\omega t}}dt}$인데 $\displaystyle\lim_{\omega\rarr\infin}{e^{-i\omega t}}=0$이므로

$\displaystyle\lim_{\omega\rarr \infin}\int^\infin_{-\infin}{f(t)e^{-i\omega t}}dt=0$이다.

이를 통해 푸리에 계수의 수렴성을 보장할 수 있다.