벡터

• 숫자를 원소로 가지는 리스트(list) 또는 배열(array)
  

• 숫자의 개수 = 벡터의 차원

• 공간에서의 한 점
  

• 원점으로부터 상대적 위치 표현

• 스칼라곱(벡터에 숫자를 곱해주는 것)은 벡터의 길이에 영향을 미친다.

  • 이 때 곱해주는 숫자 a에 따라 벡터가 다르게 변한다.
    • $a>1$ : 벡터 길이가 늘어남
    • $a<1$ : 벡터 길이가 줄어듬
    • $a<0$ : 벡터가 반대방향이 됨

  

• 벡터끼리 같은 모양을 가질 경우 아래의 연산이 가능하다.

  • 덧셈, 뺄셈 계산
    
  • 성분곱(Hadamard product)
    

    numpy
    

벡터의 덧셈

• 벡터 = 공간에서 한 점 = 원점으로부터 상대적 위치 표현
• 두 벡터의 덧셈은 다른 벡터로부터 상대적 위치이동을 표현한다.
  

벡터의 뺄셈

• 뺄셈은 덧셈의 방향을 뒤집은 것
  

벡터의 노름(norm)

원점에서부터의 거리

• 이는 임의의 차원 $d$ 에 대해 성립한다

$L_1$-노름

모든 변화량의 절댓값의 합

$L_2$-노름

피타고라스 정리를 이용해 계산한 유클리드 거리

numpy

• $L_2$-노름은 np.linalg.norm을 이용해도 구현이 가능하다.

두 노름의 차이점

• 노름의 종류에 따라 기하학적 성질이 다르다.
• 머신러닝에서는 각 성질들이 필요할 때가 있으므로 둘 다 사용한다.

거리 구하기

• $L_1$, $L_2$-노름을 이용해 두 벡터 사이의 거리를 계산할 수 있는데
• 이 때 벡터의 뺄셈을 이용한다.
• 뺄셈을 거꾸로 해도 거리는 같다.
  

각도 구하기

numpy

• 내적 : np.inner

내적의 해석

∴ 내적 = 두 벡터의 유사도를 측정하는 것

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review

• 벡터(vector)
  • 열 벡터
  • 행 벡터
  • 벡터의 차원
  • 스칼라 곱
  • 연산 : 덧셈, 뺄셈, 성분곱
  • 노름(norm)
    • 임의의 차원 $d$
    • $L_1$-노름 : 절댓값의 합
    • $L_2$-노름 : 제곱의 합 (유클리드)
    • 노름에 따라 기하학적 성질 다름
    • 두 벡터 사이의 거리 : $L_1$, $L_2$
    • 두 벡터 사이의 각도 : $L_2$, 제 2 코사인 법칙
  • 내적(inner product)
    • 정사영(orthogonal projection)된 벡터의 길이 (그림자)
    • 두 벡터의 유사도(similarity) 측정