행렬(matrix)

• 벡터(vector)를 원소로 가지는 2차원 배열
  

• 인덱스 = 행(row)과 열(column)
  

  전치행렬
  행과 열의 인덱스가 바뀐 행렬

• 행렬=공간에서의 여러 점들

  • 행벡터 $X_i$ = $i$번째 데이터 (하나의 점)
  • $x_{ij}$ = $i$번째 데이터의 $j$번째 변수의 값

행렬의 연산

행렬의 연산은 벡터와 동일하게 같은 모양을 가질 때 계산이 가능하다.

덧셈, 뺄셈

성분곱

스칼라곱

행렬 곱셈

• $i$번째 행벡터와 $j$번째 열벡터 사이의 내적을 성분으로 가지는 행렬을 계산
  • $X$의 열의 개수 = $Y$의 행의 개수
  • 곱셈 순서에 따라 결과값이 달라지므로 유의

np.inner

• $i$번째 행벡터와 $j$번째 행벡터 사이의 내적을 성분으로 가지는 행렬을 계산 (행렬 곱과 다름)
  

연산자(operator)

• 행렬 = 벡터공간에서 사용되는 연산자(operator)
• 행렬곱을 통해 벡터를 다른 차원의 공간으로 보낼 수 있다.
• 행렬곱을 통해 패턴을 추출할 수 있고 데이터를 압축할 수도 있다.
  

역행렬(inverse matrix)

• 어떤 행렬 $A$의 연산을 거꾸로 되돌리는 행렬
• $A^{-1}$로 표기
• 조건
  1. 행 = 열 : 행과 열 숫자가 같아야함
  2. 행렬식(determinant) != 0

• numpy.linalg.inv 로 구할 수 있다.
  

• 역행렬을 계산할 수 없는 경우
  유사역행렬(pseudo-inverse) 또는 무어펜로즈(Moore-Penrose) 역행렬 $A^+$ 이용
  

  • numpy.linalg.pinv로 구할 수 있다.
    

    응용1 : 연립방정식 풀기

    • np.linalg.pinv를 이용하면 연립방정식의 해를 구할 수 있다.
    • $(a_{ij})$와 $(b_i)$들이 주어진 상황에서 방정식을 만족하는 $(x_j)$를 구하는 상황
      

    응용2 : 선형회귀분석

    • np.linalg.pinv를 이용하면 데이터를 선형모델(linear model)로 해석하는 선형회귀식을 찾을 수 있다.
    • 선형회귀분석은 $X$와 $y$가 주어진 상황에서 계수 $\beta$를 찾아야 한다.
      
    • 행이 더 크므로 역행렬을 이용한다.
      
    • sklearn의 LinearRegression과 같은 결과를 가져올 수 있지만 Moore-Penrose 역행렬의 경우 y절편 항을 직접 추가해야 한다.
      

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review

• 행렬(matrix)
  • 행(row)과 열(column)
  • 전치행렬(transpose matrix)
  • 연산 : 덧셈, 뺄셈, 성분곱, 스칼라곱
  • 행렬 곱셈
    • np.inner
    • 연산자
  • 역행렬
    • numpy.linalg.inv
    • 유사역행렬(pseudo-inverse) / 무어펜로즈(Moore-Penrose) 역행렬 $A+$
      • numpy.linalg.pinv
        • 연립방정식
        • 선형회귀분석
          • sklearn LinearRegression