15. 정규연산자와 자기수반연산자(Hermitian, Normal Matrix)

김재희·2021년 9월 8일
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Linear Algebra

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내적 공간에서 켤레전치행렬의 성질을 계속 다루고 있다. 이전에 대각화가능을 진단하는 법과 대각화의 중요성에 대해 이야기를 했었다. 이때 대각화가능성은 "연산자의 고유벡터로 이루어진 기저가 존재한다"는 명제를 통해 점검할 수 있었고, 대각화가능한 행렬에 대해 쉽게 행렬식 등을 구할 수 있어 유용함을 알았다. 내적 공간에서 대각화에 대해 좀 더 자세히 살펴보도록 하자.

1. 정규연산자

우선 보조정리 하나를 짚고 넘어가자.

보조정리 유한차원 내적공간 VV의 선형연산자 TT를 생각하자. TT가 고유벡터를 포함하면 TT^*도 고유벡터를 포함한다.

증명
고유값 λ\lambda에 대응하는 고유벡터를 vv라고 하자. 임의의 xVx \in V에 대해 다음이 성립함은 자명하다.

0=<0,x>=<(TλI)(v),x>=<v,(TλI)(x)>=<v,(TλˉI)(x)>0 = <0, x> = <(T - \lambda I)(v), x> = <v, (T-\lambda I)^*(x)> = <v, (T^* - \bar{\lambda}I)(x)>

위에서 보듯이 선형연산자 TTTT^*가 동일한 고유값을 가지는 것이 아니라 켤레쌍을 가지는 모습을 보이고 있다.
또한, 0=<v,(TλˉI)(x)>0 = <v, (T^* - \bar{\lambda}I)(x)>이므로 vvTλˉIT^* -\bar{\lambda}I와 직교하는 것을 알 수 있다. 이때 TλˉIT^* -\bar{\lambda}I는 전사가 아니므로, 단사함수도 아니다. 이는 TλˉIT^* -\bar{\lambda}I가 점공간이 아닌 영공간을 가진다는 의미이므로, 이때의 영공간에 속하는 0이 아닌 임의의 벡터는 고유값 λˉ\bar{\lambda}에 대응하는 고유벡터가 된다.

정리 1. 슈어의 정리
유한차원 내적공간 VV의 선형연산자 TT를 생각하자. TT의 특성다항식이 완전히 인수분해될 때, [T]γ[T]_\gamma가 상삼각행렬이 되도록 하는 정규직교기저 γ\gamma가 존재한다.

증명
TT의 특성다항식이 완전히 인수분해 된다는 뜻은 [T]β[T]_\beta가 상삼각행렬이 되도록 하는 순서기저 β={w1,w2,dots,2n}\beta = \{w_1, w_2, dots , 2_n\}은 항상 존재한다는 의미를 가지고 있다. 이때 β\beta에 그람-슈미트 직교화를 통해 직교기저β={v1,v2,,vn}\beta' =\{v_1, v_2,\dots, v_n\}을 구할 수 있을 것이다. 이제 두 집합을 다음과 같이 정의해보자.

Sk={w1,w2,,wn}Sk={v1,v2,,vn}S_k = \{w_1, w_2, \dots, w_n\} \quad S'_k = \{v_1, v_2, \dots, v_n \}

그람-슈미트 직교화는 공간을 보존하는 직교기저를 구하는 것이므로 span(Sk)=span(Sk)span(S_k) = span(S'_k)일 것이다. 이때, 모든 kk에 대하여 T(wk)span(Sk)T(w_k) \in span(S_k)이므로 T(Wk)span(Sk)=span(Sk)T(W_k) \in span(S_k) = span(S'_k)일 것이다. 이는 결국 [T]β[T]_\beta'가 상삼각행렬임을 의미하게 된다.
이와 더불어 1in1 \leq i \leq n에 대하여 zi=1vivi,γ={z1,z2,,zn}z_i = {1 \over ||v_i||}v_i, \gamma = \{z_1, z_2, \dots, z_n\}이라 하자. 이렇게 처리하면 γ\gammaVV의 정규직교기저이고, [T]γ[T]_\gamma는 상삼각행렬이 될 것이다.

이제 정리를 해보면, 유한차원 내적공간 VV에서 선형연산자 TT의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저 β\beta를 찾았다면, [T]β[T]_\beta는 대각행렬이 되고, [T]β=[T]β[T^*]_\beta = [T]_\beta^* 역시 대각행렬이 된다. 대각행렬은 서로 순서를 뒤집어 곱해도 동일하므로다음 결론에 도달하게 된다.

VVTT의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저를 가지면 TT=TTTT^* = T^*T
이다.

정의 1. 내적공간 VV와 선형연산자 TT를 생각하자. TT=TTTT^* = T^*T인 선형연산자 TT를 정규연산자라 하며, AA=AAAA^* = A^*A를 만족하는 n×nn \times n 행렬 AA를 정규행렬이라 한다.

이제 정규연산자가 무엇인지 알게 되었다. 그 성질에 대해 살펴보자.

정리 2. 내적공간 VV와 정규연산자 TT에 대해 다음이 성립한다.
1. 모든 xVx \in V에 대하여 T(x)=T(x)||T(x)|| = ||T^*(x)||이다.
2. 임의의 cFc \in F에 대하여 TcIT -cI는 정규연산자이다.
3. 고유값 λ\lambda에 대응하는 고유벡터 xx는 고유값 λˉ\bar{\lambda}에 대응하는 고유벡터이기도 하다. 즉, T(x)=λxT(x) = \lambda x이면, T(x)=λˉxT^*(x) = \bar{\lambda} x이다.
4. 고유벡터 x1,x2x_1, x_2에 대응하는 고유값을 각각 λ1,λ2\lambda_1, \lambda_2라 할때, λ1λ2\lambda_1 \neq \lambda_2이면, x1x_1x2x_2는 직교한다.

증명
1.

T(x)2=<T(x),T(x)>=(TT(x),x>=<TT(x),x>=<T(x),T(x)>=T(x)2\begin{aligned} ||T(x)||^2 &= <T(x), T(x)> = (T^*T(x),x> = <TT^*(x), x>\\ &= <T^*(x), T^*(x)> = ||T^*(x)||^2\\ \end{aligned}
  1. (TcI)(TcI)=(TcI)(TcI)=TTcTcT+c2I=TTcTcT+c2I=(TcI)(TcI)\begin{aligned} (T - cI)(T-cI)^* &= (T-cI)(T^*-cI) = TT^* -cT^*-cT + c^2I\\ &= T^*T -cT^*-cT +c^2I = (T-cI)^*(T-cI) \end{aligned}
  2. 어떤 xVx \in V에 대하여 T(x)=λxT(x) = \lambda x라 하자. 이때 U=TλIU = T -\lambda I라 하면, U(x)=0U(x) =0인 정규연산자이다. 이때 다음과 같은 식이 성립한다.
    0=U(x)=U(x)=TλˉI=T(x)λˉx0 = ||U(x)|| = ||U^*(x)||=||T^*-\bar{\lambda}I|| = ||T^*(x) -\bar{\lambda}x
    결국 T(x)=λˉxT^*(x) = \bar{\lambda} xxxTT^*의 고유벡터가 된다.
  3. 고유벡터 x1,x2x_1, x_2에 대응하는 고유값을 λ1,λ2\lambda_1, \lambda_2라 하자. 이때 다음이 성립한다.
    λ1<x1,x2>=<λ1x1,x2>=<T(x1),x2>=<x1,T(x2)>=<x1,λˉ2x2>=λ2<x1,x2>\begin{aligned} \lambda_1<x_1, x_2> &= <\lambda_1 x_1, x_2> = <T(x_1), x_2> = <x_1, T^*(x_2)>\\ &= <x_1, \bar{\lambda}_2x_2> =\lambda_2<x_1, x_2> \end{aligned}
    이때 λ1λ2\lambda_1 \neq \lambda_2이므로 <x1,x2>=0<x_1, x_2> = 0이 성립한다.

정규연산자의 필요충분조건은 다음과 같이 정리할 수 있다.

정리 3. 유한차원 복소내적공간 VV의 선형연산자TT를 생각하자. TT가 정규연산자이기 위한 필요충분조건은 TT의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저가 존재하는 것이다.

증명
TT가 정규연산자라 한다면, TT의 특성다항식은 완전히 인수분해 되며 슈어의 정리에 의해 [T]β=A[T]_\beta = A가 상삼각행렬이 되도록 하는 정규직교기저 β={v1,v2,,vn}\beta = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}을 얻을 수 있을 것이다. 이때, AA가 상ㅇ삼각행렬이기 때문에, v1v_1TT의 고유벡터이다.

이제 v1,v2,,vk1v_1, v_2, \dots, v_{k-1}이 고유벡터일 때, vkv_k도 고유벡터임을 보이면 된다.
임의의 j<kj<k에 대하여 고유벡터 vjv_j에 대응하는 고유값을 λj\lambda_j라 하자. 이때 T(vj)=λjvjT^*(v_j) = \lambda_jv_j이다. 이때 AA는 상삼각행렬이므로 T(vk)T(v_k)는 다음과 같을 것이다.

T(vk)=A1kv1+A2kv2++AkkvkT(v_k) = A_{1k}v_1 + A_{2k}v_2 + \dots + A_{kk}v_k

이때 AjkA_{jk}는 다음과 같다.

Ajk=<T(vk),vj>=<vk,T(vj)>=<vk,λˉjvj>=λj<vk,vj>=0A_{jk} = <T(v_k), v_j> = <v_k, T^*(v_j)> = <v_k, \bar{\lambda}_jv_j> = \lambda_j<v_k,v_j> =0

이때 T(vk)=AkkvkT(v_k) = A_{kk}v_k이고, vkv_k는 고유벡터가 되는 것이다.

정의 내적공간 VV의 선형연산자 TT를 생각하자.

  • T=TT = T^*TT를 자기수반연산자 혹은 에리미트 연산자(Hermitian)이라 한다.
  • A=AA = A^*n×nn \times n 행렬 AA를 자기수반행렬 또는 에르미트 행렬이라 한다.

정규직교기저 β\beta에 대하여 TT가 자기수반연산자이기 위한 필요충분조건은 [T]β[T]_\beta가 자기수반생렬인 것이다. 이때 만약 행렬 AA가 실행렬이라면 조건이 간소화되어 대칭이면 충분하다. 이는 후에 SVD 등에서 유용하게 쓰이는 성질이 된다. 또한 실내적공간의 선형연산자는 실수인 고유값만 가지게 된다

보조정리 유한차원 내적공간 VV의 자기수반연산자 TT에 대하여 다음이 성립한다.
1. TT의 모든 고유값은 실수이다.
2. VV가 실내적공간이라면, TT의 특성다항식은 완전 인수분해 된다.

증명
1. x0x \neq 0에 대하여 T(x)=λxT(x) = \lambda x가 성립한다고 가정해보자. 이때 자기수반연산자는 정규연산자이므로, λx=T(x)=T(x)=λˉx\lambda x = T(x) = T^*(x) = \bar{\lambda}x일 것이다. 이때, λ=λˉ\lambda = \bar{\lambda}이므로 λ\lambda는 실수다.

  1. n=dim(V)n = dim(V)라고 하자. VV의 정규직교기저 β\betaA=[T]βA = [T]_\beta를 생각하자. AA는 자기수반행렬일 때, CnC^n의 선형연산자 TAT_A를 다음과 같이 정의해보자.
    모든    xCn    대하여    TA(x)=Ax모든 \;\; x \in C^n에\;\;대하여\;\; T_A(x) = Ax
    CnC^n의 정규직교기저 γ\gamma에 대하여 [TA]γ=A[T_A]_\gamma = A이므로 TAT_A는 자기수반연산자이다. 이때 1에 따라 TAT_A의 고유값은 실수이고, 특성다항식은 tλt-\lambda의 곱으로 완전히 인수분해 된다. 모든 λ\lambda가 실수이므로 특성다항식은 RR에서 완전히 인수분해된다.
    정리하면 TAT_AAA의 특성다항식과 같은 특성다항식을 가지고 이는 TT 역시 동일하므로 TT의 특성다항식은 완전히 인수분해 된다.

최종적인 정리 하나를 짚고 마무리하도록 하자.

정리 4. 유한차원 실내적공간 VV의 선형연산자 TT에 대하여 TT가 자기수반연산자이기 위한 필요충분조건은 TT의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저 β\beta가 존재하는 것이다.

증명
TT를 자기수반연산자라 하자. 슈어의 정리를 사용하면 A=[T]βA = [T]_\beta가 상삼각행렬이 되도록 하는 정규직교기저 β\beta를 얻을 수 잇다. 이때 다음 식이 성립하게 된다.

A=[T]β=[T]β=AA^* = [T]_\beta^* = [T^*]_\beta = A

이때 AAAA^*모두 상삼각행렬이기 때문에, AA는 대각행렬이 된다. 그러므로 β\betaTT의 고유벡터로 이루어지게 된다.

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