내적 공간에서 켤레전치행렬의 성질을 계속 다루고 있다. 이전에 대각화가능을 진단하는 법과 대각화의 중요성에 대해 이야기를 했었다. 이때 대각화가능성은 "연산자의 고유벡터로 이루어진 기저가 존재한다"는 명제를 통해 점검할 수 있었고, 대각화가능한 행렬에 대해 쉽게 행렬식 등을 구할 수 있어 유용함을 알았다. 내적 공간에서 대각화에 대해 좀 더 자세히 살펴보도록 하자.
1. 정규연산자
우선 보조정리 하나를 짚고 넘어가자.
보조정리 유한차원 내적공간 V의 선형연산자 T를 생각하자. T가 고유벡터를 포함하면 T∗도 고유벡터를 포함한다.
증명
고유값 λ에 대응하는 고유벡터를 v라고 하자. 임의의 x∈V에 대해 다음이 성립함은 자명하다.
0=<0,x>=<(T−λI)(v),x>=<v,(T−λI)∗(x)>=<v,(T∗−λˉI)(x)>
위에서 보듯이 선형연산자 T와 T∗가 동일한 고유값을 가지는 것이 아니라 켤레쌍을 가지는 모습을 보이고 있다.
또한, 0=<v,(T∗−λˉI)(x)>이므로 v는 T∗−λˉI와 직교하는 것을 알 수 있다. 이때 T∗−λˉI는 전사가 아니므로, 단사함수도 아니다. 이는 T∗−λˉI가 점공간이 아닌 영공간을 가진다는 의미이므로, 이때의 영공간에 속하는 0이 아닌 임의의 벡터는 고유값 λˉ에 대응하는 고유벡터가 된다.
정리 1. 슈어의 정리
유한차원 내적공간 V의 선형연산자 T를 생각하자. T의 특성다항식이 완전히 인수분해될 때, [T]γ가 상삼각행렬이 되도록 하는 정규직교기저 γ가 존재한다.
증명
T의 특성다항식이 완전히 인수분해 된다는 뜻은 [T]β가 상삼각행렬이 되도록 하는 순서기저 β={w1,w2,dots,2n}은 항상 존재한다는 의미를 가지고 있다. 이때 β에 그람-슈미트 직교화를 통해 직교기저β′={v1,v2,…,vn}을 구할 수 있을 것이다. 이제 두 집합을 다음과 같이 정의해보자.
Sk={w1,w2,…,wn}Sk′={v1,v2,…,vn}
그람-슈미트 직교화는 공간을 보존하는 직교기저를 구하는 것이므로 span(Sk)=span(Sk′)일 것이다. 이때, 모든 k에 대하여 T(wk)∈span(Sk)이므로 T(Wk)∈span(Sk)=span(Sk′)일 것이다. 이는 결국 [T]β′가 상삼각행렬임을 의미하게 된다.
이와 더불어 1≤i≤n에 대하여 zi=∣∣vi∣∣1vi,γ={z1,z2,…,zn}이라 하자. 이렇게 처리하면 γ는 V의 정규직교기저이고, [T]γ는 상삼각행렬이 될 것이다.
이제 정리를 해보면, 유한차원 내적공간 V에서 선형연산자 T의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저 β를 찾았다면, [T]β는 대각행렬이 되고, [T∗]β=[T]β∗ 역시 대각행렬이 된다. 대각행렬은 서로 순서를 뒤집어 곱해도 동일하므로다음 결론에 도달하게 된다.
V가 T의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저를 가지면 TT∗=T∗T
이다.
정의 1. 내적공간 V와 선형연산자 T를 생각하자. TT∗=T∗T인 선형연산자 T를 정규연산자라 하며, AA∗=A∗A를 만족하는 n×n 행렬 A를 정규행렬이라 한다.
이제 정규연산자가 무엇인지 알게 되었다. 그 성질에 대해 살펴보자.
정리 2. 내적공간 V와 정규연산자 T에 대해 다음이 성립한다.
1. 모든 x∈V에 대하여 ∣∣T(x)∣∣=∣∣T∗(x)∣∣이다.
2. 임의의 c∈F에 대하여 T−cI는 정규연산자이다.
3. 고유값 λ에 대응하는 고유벡터 x는 고유값 λˉ에 대응하는 고유벡터이기도 하다. 즉, T(x)=λx이면, T∗(x)=λˉx이다.
4. 고유벡터 x1,x2에 대응하는 고유값을 각각 λ1,λ2라 할때, λ1=λ2이면, x1과 x2는 직교한다.
증명
1.
∣∣T(x)∣∣2=<T(x),T(x)>=(T∗T(x),x>=<TT∗(x),x>=<T∗(x),T∗(x)>=∣∣T∗(x)∣∣2
(T−cI)(T−cI)∗=(T−cI)(T∗−cI)=TT∗−cT∗−cT+c2I=T∗T−cT∗−cT+c2I=(T−cI)∗(T−cI)
- 어떤 x∈V에 대하여 T(x)=λx라 하자. 이때 U=T−λI라 하면, U(x)=0인 정규연산자이다. 이때 다음과 같은 식이 성립한다.
0=∣∣U(x)∣∣=∣∣U∗(x)∣∣=∣∣T∗−λˉI∣∣=∣∣T∗(x)−λˉx 결국 T∗(x)=λˉx로 x는 T∗의 고유벡터가 된다.
- 고유벡터 x1,x2에 대응하는 고유값을 λ1,λ2라 하자. 이때 다음이 성립한다.
λ1<x1,x2>=<λ1x1,x2>=<T(x1),x2>=<x1,T∗(x2)>=<x1,λˉ2x2>=λ2<x1,x2> 이때 λ1=λ2이므로 <x1,x2>=0이 성립한다.
정규연산자의 필요충분조건은 다음과 같이 정리할 수 있다.
정리 3. 유한차원 복소내적공간 V의 선형연산자T를 생각하자. T가 정규연산자이기 위한 필요충분조건은 T의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저가 존재하는 것이다.
증명
T가 정규연산자라 한다면, T의 특성다항식은 완전히 인수분해 되며 슈어의 정리에 의해 [T]β=A가 상삼각행렬이 되도록 하는 정규직교기저 β={v1,v2,…,vn}을 얻을 수 있을 것이다. 이때, A가 상ㅇ삼각행렬이기 때문에, v1은 T의 고유벡터이다.
이제 v1,v2,…,vk−1이 고유벡터일 때, vk도 고유벡터임을 보이면 된다.
임의의 j<k에 대하여 고유벡터 vj에 대응하는 고유값을 λj라 하자. 이때 T∗(vj)=λjvj이다. 이때 A는 상삼각행렬이므로 T(vk)는 다음과 같을 것이다.
T(vk)=A1kv1+A2kv2+⋯+Akkvk
이때 Ajk는 다음과 같다.
Ajk=<T(vk),vj>=<vk,T∗(vj)>=<vk,λˉjvj>=λj<vk,vj>=0
이때 T(vk)=Akkvk이고, vk는 고유벡터가 되는 것이다.
정의 내적공간 V의 선형연산자 T를 생각하자.
- T=T∗인 T를 자기수반연산자 혹은 에리미트 연산자(Hermitian)이라 한다.
- A=A∗인 n×n 행렬 A를 자기수반행렬 또는 에르미트 행렬이라 한다.
정규직교기저 β에 대하여 T가 자기수반연산자이기 위한 필요충분조건은 [T]β가 자기수반생렬인 것이다. 이때 만약 행렬 A가 실행렬이라면 조건이 간소화되어 대칭이면 충분하다. 이는 후에 SVD 등에서 유용하게 쓰이는 성질이 된다. 또한 실내적공간의 선형연산자는 실수인 고유값만 가지게 된다
보조정리 유한차원 내적공간 V의 자기수반연산자 T에 대하여 다음이 성립한다.
1. T의 모든 고유값은 실수이다.
2. V가 실내적공간이라면, T의 특성다항식은 완전 인수분해 된다.
증명
1. x=0에 대하여 T(x)=λx가 성립한다고 가정해보자. 이때 자기수반연산자는 정규연산자이므로, λx=T(x)=T∗(x)=λˉx일 것이다. 이때, λ=λˉ이므로 λ는 실수다.
- n=dim(V)라고 하자. V의 정규직교기저 β와 A=[T]β를 생각하자. A는 자기수반행렬일 때, Cn의 선형연산자 TA를 다음과 같이 정의해보자.
모든x∈Cn에대하여TA(x)=Ax Cn의 정규직교기저 γ에 대하여 [TA]γ=A이므로 TA는 자기수반연산자이다. 이때 1에 따라 TA의 고유값은 실수이고, 특성다항식은 t−λ의 곱으로 완전히 인수분해 된다. 모든 λ가 실수이므로 특성다항식은 R에서 완전히 인수분해된다.
정리하면 TA는 A의 특성다항식과 같은 특성다항식을 가지고 이는 T 역시 동일하므로 T의 특성다항식은 완전히 인수분해 된다.
최종적인 정리 하나를 짚고 마무리하도록 하자.
정리 4. 유한차원 실내적공간 V의 선형연산자 T에 대하여 T가 자기수반연산자이기 위한 필요충분조건은 T의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저 β가 존재하는 것이다.
증명
T를 자기수반연산자라 하자. 슈어의 정리를 사용하면 A=[T]β가 상삼각행렬이 되도록 하는 정규직교기저 β를 얻을 수 잇다. 이때 다음 식이 성립하게 된다.
A∗=[T]β∗=[T∗]β=A
이때 A와 A∗모두 상삼각행렬이기 때문에, A는 대각행렬이 된다. 그러므로 β는 T의 고유벡터로 이루어지게 된다.