지금까지 수반연산자와 켤레복소수의 유사성을 다뤘다. 이제 내적공간에서 길이를 보존하는 선형연산자에 대해 다뤄보도록하자.
1. 유니타리 연산자와 직교연산자
저의 유한차원 F-내적공간 V의 선형연산자 T를 생각하자.
- F=C일 때, 모든 x∈V에 대하여 ∣∣T(x)∣∣=∣∣x∣∣인 T를 유니타리 연산자라 한다.
- F=R일 때, 모든 x∈V에 대하여 ∣∣T(x)∣∣=∣∣x∣∣인 T를 직교연산자라 한다.
선형연산자의 성질은 다음과 같다.
정리 1. 유한차원 내적공간 V의 선형연산자 T에 대하여 다음 명제는 서로 동치이다.
1. T∗T=1
2. TT∗=1
3. 모든 x,y∈V에 대하여 <T(x),T(y)>=<x,y>이다.
4. V의 정규직교기저 β에 대하여 T(β)도 V의 정규직교기저이다.
5. T(β)가 V의 정규직교기저가 되도록 하는 정규직교기저 β가 존재한다.
6. 모든 x∈V에 대하여 ∣∣T(x)∣∣=∣∣x∣∣이다.
이에 대해 자기수반연산자와 관련된 보조정리가 있다.
보조정리 내적공간 V의 자기수반연산자 U를 생각하자. 모든 x∈V에 대하여 <x,U(x)>=0이면 U=T0이다.
증명
임의의 x∈V에 대하여 다음이 성립한다.
0=<x+U(x),U(x+U(x))>=<x+U(x),U(x)+U∗2(x)>=<x,U(x)>+<x,U2(x)>+<U(x),U(x)>+<U(x),U2(x)>=<x,U2(x)>+<U(x),U(x)>=<x,U∗U(x)>+∣∣U(x)∣∣2=<U(x),U(x)>+∣∣U(x)∣∣2=2∣∣U(x)∣∣2
즉, 임의의 x∈V에 대하여 ∣∣U(x)∣∣=0이므로, U=T0이다.
이제 선형연산자의 성질에 대해 조금 이야기해보도록 하자.
3번 성질의 증명은 다음과 같다.
증명
3. x,y∈V라 하자. <x,y>=<T∗T(x),y>=<T(x),T(y)>로 성립한다.
이와 같은 성질을 연산자 T는 내적을 보존한다 라고 표현한다.
또한, 6번 성질은 다음과 같이 증명할 수 있다.
증명
x∈V,β={v1,v2,…,vn}이라 하자. 적절할 ai에 대하여 x=∑i=1naivi이다. 이때, β가 정규직교이기 때문에, 다음이 성립한다.
∣∣x∣∣2=<i=1∑naivi,i=1∑najvj>=i=1∑nj=1∑naiajˉ<vi,vj>=i=1∑nj=1∑naiajˉδij=i=1∑n∣ai∣2
위와 같은 연산을 T(x)=∑i=1naiT(vi)에 적용하자. 이때, T(β)가 정규직교임을 이용하면 다음과 같은 식이 성립할 것이다.
∣∣T(x)∣∣2=i=1∑n∣ai∣2
즉, 자기수반연산자 T에 대해∣∣T(x)∣∣=∣∣x∣∣이 성립한다.
6번 성질은 T가 놈을 보존한다고 표현할 수 있다.
위 두가지 성질과 더불어 아주 중요한 성질은 유니타리 연산자 혹은 직교연산자의 정의에 따라 모든 고유값의 절대값이 1이라는 점이다.
따름정리 1. 유한차원 실내적공간 V의 선형연산자 T를 생각하자. V가 절대값이 1인 고유값에 대응하는 고유벡터로 이루어진 정규직교기저를 포함하기 위한 필요충분조건은 T가 자기수반 직교연산자인 것이다.
증명
모든 i에 대하여 V에 T(vi)=λivi,∣λi∣=1인 정규직교기저 {v1,v2,…,vn}가 있다고 하자. 이때, T는 실내적공간에 대해 정의되므로 자기수반이다. 각 i에 대하여 (TT∗)=T(λivi)=λiλivi=λi2vi=vi이다. 이에 따라 TT∗=I이고, 직교연산자의 성질에 의해 T는 직교연산자가 된다.
반대로 T가 자기수반연산자라 가정하면, V는 모든 i에 대하여 T(vi)=λivi인 정규직교기저 {v1,v2,…,vn}을 포함한다. T가 직교연산자이기 때문에, 다음 식이 성립할 것이다 .
∣λi∣⋅∣∣vi∣∣=∣∣λivi∣∣=∣∣T(vi)∣∣=∣∣vi∣∣
다시한번 ∣λi∣=1이 증명된다.
따름정리 2. 유한차원 복소내적공간 V의 선형연산자 T를 생각하자. V가 절대값이 1인 고유값에 대응하는 고유벡터로 이루어진 정규직교기저를 가지기 윟나 필요충분조건은 T가 유니타리 연산자인 것이다.
이제 연산자와 행렬을 이어서 생각해보자.
정의 ATA=AAT=I인 정사각 행렬을 직교행렬이라 하고, A∗A=AA∗=I인 정사각 행렬을 유니타리 행렬이라 한다.
A가 실행렬일 경우 AT=A∗이므로 실유니타리행렬은 직교행렬이 된다. 주로 내가 다룰 개념은 직교행렬일 것이다.
유니타리 행렬의 조건 AA∗=I는 A의 각 행이 Fn이 정규직교기저인 것과 동치인데, 이는 다음 식을 통해 간단히 보일 수 있다.
δij=Iij=(AA∗)ij=i=1∑nAik(A∗)kj=i=1∑nAikAˉjk
이를 다시 유니타리 연산자와 연관시켜보자면, 내적공간 V의 선형연산자 T가 유니타리 연산자이기 위한 필요충분조건은 V의 적절한 정규직교기저 β에 대하여 [T]β가 유니타리 행렬인 것이다. 이는 직교행렬과 직교연산자에도 동일하게 적용된다.
여기서 유니타리 동치라는 개념이 등장한다.
앞서 행렬 A에 대하여 A의 고유벡터로 이루어진 Fn의 정규직교기저 β가 존재하고, A는 대각행렬 D와 닮음이라는 점을 언급한 바 있다. 이때, D=Q−1AQ를 만족하는 행렬 Q는 β의 벡터를 열로 가지기 때문에, 유니타리 행렬임을 알 수 있다. 이때 A와 D를 유니타리 동치 혹은 직교 동치라 부르게 된다.
이제 아주 간단해지는 정리가 하나 등장한다.
정리 2. n×n복소행렬 A가 있다고 할 때, A가 정규행렬이기 위한 필요충분조건은 A가 대각행렬과 유니타리 동치인 것이다.
증명
앞선 개념들에서 많이 이야기 되었기 때문에 이 증명에선 A가 대각행렬과 유니타리 동치일 때, A가 정규행렬임만 증명하면 될 것이다.
A=P∗DP이고, P는 유니타리 행렬, D는 대각행렬이라 가정하자. 이때 다음 식이 성립한다.
AA∗=(P∗DP)(P∗DP)∗=(P∗DP)(P∗D∗P)=P∗DID∗P=P∗DD∗P
동일한 방식으로 A∗A=P∗D∗DP가 될 것이다. 이때, D는 대칭행렬이기 때문에 정규행렬이고, AA∗=A∗A가 될 것이다.
이를 실행렬로 옮겨오면 다음과 같다.
정리 3. n×n 실행렬 A를 생각하자. 이때, A가 대칭행렬이기 위한 필요충분조건은 A가 실대각행렬과 직교동치인 것이다.
슈어의 정리를 행렬로 옮겨오면 다음고 ㅏ같다. 이는 연산자와 동일하다.
정리 4. 슈어의 정리
행렬 A∈Mn×n(F)의 특성다항식이 F 위에서 완전히 인수분해되면 다음이 성립한다.
1. F=C이면, A는 복소 상삼각행렬과 유니타리 동치이다.
2. F=R이면, A는 실 상삼각행렬과 직교 동치이다.