16. 유니타리 행렬

김재희·2021년 9월 9일
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Linear Algebra

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지금까지 수반연산자와 켤레복소수의 유사성을 다뤘다. 이제 내적공간에서 길이를 보존하는 선형연산자에 대해 다뤄보도록하자.

1. 유니타리 연산자와 직교연산자

저의 유한차원 FF-내적공간 VV의 선형연산자 TT를 생각하자.

  • F=CF = C일 때, 모든 xVx \in V에 대하여 T(x)=x||T(x)|| =||x||TT유니타리 연산자라 한다.
  • F=RF = R일 때, 모든 xVx \in V에 대하여 T(x)=x||T(x)|| = ||x||TT직교연산자라 한다.

선형연산자의 성질은 다음과 같다.

정리 1. 유한차원 내적공간 VV의 선형연산자 TT에 대하여 다음 명제는 서로 동치이다.
1. TT=1T^*T = 1
2. TT=1TT^* = 1
3. 모든 x,yVx, y \in V에 대하여 <T(x),T(y)>=<x,y><T(x), T(y)> = <x, y>이다.
4. VV의 정규직교기저 β\beta에 대하여 T(β)T(\beta)VV의 정규직교기저이다.
5. T(β)T(\beta)VV의 정규직교기저가 되도록 하는 정규직교기저 β\beta가 존재한다.
6. 모든 xVx \in V에 대하여 T(x)=x||T(x)|| = ||x||이다.

이에 대해 자기수반연산자와 관련된 보조정리가 있다.

보조정리 내적공간 VV의 자기수반연산자 UU를 생각하자. 모든 xVx \in V에 대하여 <x,U(x)>=0<x, U(x)> = 0이면 U=T0U = T_0이다.

증명
임의의 xVx \in V에 대하여 다음이 성립한다.

0=<x+U(x),U(x+U(x))>=<x+U(x),U(x)+U2(x)>=<x,U(x)>+<x,U2(x)>+<U(x),U(x)>+<U(x),U2(x)>=<x,U2(x)>+<U(x),U(x)>=<x,UU(x)>+U(x)2=<U(x),U(x)>+U(x)2=2U(x)2\begin{aligned} 0 &= <x+U(x), U(x+U(x))>\\ &= <x+U(x), U(x)+U^*2(x)>\\ &= <x, U(x)> + <x, U^2(x)> + <U(x), U(x)> + <U(x), U^2(x)>\\ &=<x, U^2(x)> + <U(x), U(x)>\\ &= <x, U^*U(x)>+||U(x)||^2\\ &=<U(x), U(x)> + ||U(x)||^2\\ &=2||U(x)||^2 \end{aligned}

즉, 임의의 xVx \in V에 대하여 U(x)=0||U(x)|| = 0이므로, U=T0U = T_0이다.

이제 선형연산자의 성질에 대해 조금 이야기해보도록 하자.
3번 성질의 증명은 다음과 같다.

증명
3. x,yVx, y \in V라 하자. <x,y>=<TT(x),y>=<T(x),T(y)><x, y> = <T^*T(x), y> = <T(x),T(y)>로 성립한다.

이와 같은 성질을 연산자 TT는 내적을 보존한다 라고 표현한다.

또한, 6번 성질은 다음과 같이 증명할 수 있다.

증명
xV,β={v1,v2,,vn}x \in V, \beta = \{v _1, v_2, \dots, v_n\}이라 하자. 적절할 aia_i에 대하여 x=i=1naivix = \sum^n_{i=1}a_iv_i이다. 이때, β\beta가 정규직교이기 때문에, 다음이 성립한다.

x2=<i=1naivi,i=1najvj>=i=1nj=1naiajˉ<vi,vj>=i=1nj=1naiajˉδij=i=1nai2\begin{aligned} ||x||^2 &= <\sum^n_{i=1}a_iv_i, \sum^n_{i=1}a_jv_j>\\ &=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}a_i\bar{a_j}<v_i,v_j>\\ &=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}a_i\bar{a_j}\delta_{ij}\\ &=\sum^n_{i=1}|a_i|^2 \end{aligned}

위와 같은 연산을 T(x)=i=1naiT(vi)T(x) = \sum^n_{i=1}a_iT(v_i)에 적용하자. 이때, T(β)T(\beta)가 정규직교임을 이용하면 다음과 같은 식이 성립할 것이다.

T(x)2=i=1nai2||T(x)||^2 = \sum^n_{i=1}|a_i|^2

즉, 자기수반연산자 TT에 대해T(x)=x||T(x)|| = ||x||이 성립한다.

6번 성질은 TT가 놈을 보존한다고 표현할 수 있다.

위 두가지 성질과 더불어 아주 중요한 성질은 유니타리 연산자 혹은 직교연산자의 정의에 따라 모든 고유값의 절대값이 1이라는 점이다.

따름정리 1. 유한차원 실내적공간 VV의 선형연산자 TT를 생각하자. VV가 절대값이 1인 고유값에 대응하는 고유벡터로 이루어진 정규직교기저를 포함하기 위한 필요충분조건은 TT가 자기수반 직교연산자인 것이다.

증명
모든 ii에 대하여 VVT(vi)=λivi,λi=1T(v_i) = \lambda_iv_i, |\lambda_i| =1인 정규직교기저 {v1,v2,,vn}\{v_1, v_2, \dots, v_n\}가 있다고 하자. 이때, TT는 실내적공간에 대해 정의되므로 자기수반이다. 각 ii에 대하여 (TT)=T(λivi)=λiλivi=λi2vi=vi(TT^*) = T(\lambda_iv_i) = \lambda_i\lambda_ivi = \lambda_i^2v_i = v_i이다. 이에 따라 TT=ITT^* = I이고, 직교연산자의 성질에 의해 TT는 직교연산자가 된다.

반대로 TT가 자기수반연산자라 가정하면, VV는 모든 ii에 대하여 T(vi)=λiviT(v_i) = \lambda_iv_i인 정규직교기저 {v1,v2,,vn}\{v_1, v_2, \dots, v_n\}을 포함한다. TT가 직교연산자이기 때문에, 다음 식이 성립할 것이다 .

λivi=λivi=T(vi)=vi|\lambda_i|\cdot||v_i|| = ||\lambda_iv_i|| = ||T(v_i)|| = ||v_i||

다시한번 λi=1|\lambda_i| = 1이 증명된다.

따름정리 2. 유한차원 복소내적공간 VV의 선형연산자 TT를 생각하자. VV가 절대값이 1인 고유값에 대응하는 고유벡터로 이루어진 정규직교기저를 가지기 윟나 필요충분조건은 TT가 유니타리 연산자인 것이다.

이제 연산자와 행렬을 이어서 생각해보자.

정의 ATA=AAT=IA^TA = AA^T = I인 정사각 행렬을 직교행렬이라 하고, AA=AA=IA^*A = AA^* = I인 정사각 행렬을 유니타리 행렬이라 한다.

AA가 실행렬일 경우 AT=AA^T = A^*이므로 실유니타리행렬은 직교행렬이 된다. 주로 내가 다룰 개념은 직교행렬일 것이다.

유니타리 행렬의 조건 AA=IAA^* = IAA의 각 행이 FnF^n이 정규직교기저인 것과 동치인데, 이는 다음 식을 통해 간단히 보일 수 있다.

δij=Iij=(AA)ij=i=1nAik(A)kj=i=1nAikAˉjk\delta_{ij} = I_{ij} = (AA^*)_{ij} = \sum^n_{i =1}A_{ik}(A^*)_{kj} = \sum^n_{i=1}A_{ik}\bar{A}_{jk}

이를 다시 유니타리 연산자와 연관시켜보자면, 내적공간 VV의 선형연산자 TT가 유니타리 연산자이기 위한 필요충분조건은 VV의 적절한 정규직교기저 β\beta에 대하여 [T]β[T]_\beta가 유니타리 행렬인 것이다. 이는 직교행렬과 직교연산자에도 동일하게 적용된다.

여기서 유니타리 동치라는 개념이 등장한다.
앞서 행렬 AA에 대하여 AA의 고유벡터로 이루어진 FnF^n의 정규직교기저 β\beta가 존재하고, AA는 대각행렬 DD와 닮음이라는 점을 언급한 바 있다. 이때, D=Q1AQD = Q^{-1}AQ를 만족하는 행렬 QQβ\beta의 벡터를 열로 가지기 때문에, 유니타리 행렬임을 알 수 있다. 이때 AADD를 유니타리 동치 혹은 직교 동치라 부르게 된다.

이제 아주 간단해지는 정리가 하나 등장한다.

정리 2. n×nn\times n복소행렬 AA가 있다고 할 때, AA가 정규행렬이기 위한 필요충분조건은 AA가 대각행렬과 유니타리 동치인 것이다.

증명
앞선 개념들에서 많이 이야기 되었기 때문에 이 증명에선 AA가 대각행렬과 유니타리 동치일 때, AA가 정규행렬임만 증명하면 될 것이다.
A=PDPA = P^*DP이고, PP는 유니타리 행렬, DD는 대각행렬이라 가정하자. 이때 다음 식이 성립한다.

AA=(PDP)(PDP)=(PDP)(PDP)=PDIDP=PDDPAA^* = (P^*DP)(P^*DP)^* = (P^*DP)(P^*D^*P) = P^*DID^*P = P^*DD^*P

동일한 방식으로 AA=PDDPA^*A = P^*D^*DP가 될 것이다. 이때, DD는 대칭행렬이기 때문에 정규행렬이고, AA=AAAA^* = A^*A가 될 것이다.

이를 실행렬로 옮겨오면 다음과 같다.

정리 3. n×nn\times n 실행렬 AA를 생각하자. 이때, AA가 대칭행렬이기 위한 필요충분조건은 AA가 실대각행렬과 직교동치인 것이다.

슈어의 정리를 행렬로 옮겨오면 다음고 ㅏ같다. 이는 연산자와 동일하다.

정리 4. 슈어의 정리
행렬 AMn×n(F)A \in M_{n \times n}(F)의 특성다항식이 FF 위에서 완전히 인수분해되면 다음이 성립한다.
1. F=CF = C이면, AA는 복소 상삼각행렬과 유니타리 동치이다.
2. F=RF =R이면, AA는 실 상삼각행렬과 직교 동치이다.

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