5. 선형변환의 행렬표현

김재희·2021년 8월 16일
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Linear Algebra

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1. 행렬표현

유한차원 벡터공간 VV의 순서기저는 순서가 주어진 기저를 의미한다. 즉, 기저벡터들이 유한수열의 형태로 주어지는 것을 순서기저라고 한다. 이를 이용하면 이제 좌표벡터를 우리는 표현할 수 있다.

정의 1. 유한차원 벡터공간 VV의 순서기저를 β={u1,u2,,un}\beta = \{u_1, u_2, \dots, u_n\}이라 하고, xVx \in V에 대해 a1,a2,,ana_1, a_2, \dots, a_nx=i=1naiuux = \sum^n_{i = 1}a_iu_u를 만족하는 유일한 스칼라라고 할 때, β\beta에 대한 xx의 좌표벡터는 다음과 같다.

[x]β=(a1a2an)[x]_\beta = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ \dots \\ a_n \end{pmatrix}

다르게 이야기하면, xVx \in V에 대해 VV의 순서 기저 β\beta의 선형 결합으로 xx를 만들때, 선형 결합의 계수가 좌표벡터 [x]β[x]_\beta인 것이다.

이제 선형변환이 어떻게 행렬표현이 될 수 있는지 생각해보자. 유한차원 벡터공간 V,WV, W와 각각의 순서기저 β={v1,v2,,vn},γ={w1,w2,wm}\beta = \{v_1, v_2, \dots, v_n \}, \gamma =\{w_1, w_2, \dots w_m\}, 선형변환 T:VWT: V \to W를 생각해보자. 이때, j=1,2,,nj = 1, 2, \dots, n일 때, j마다 다음을 만족하는 유일한 스칼라 aijFa_{ij} \in F가 존재한다.

T(vj)=i=1maijwiT(v_j) = \sum^m_{i = 1} a_{ij}w_i

정의 2. 위의 상황에서 성분이 Aij=aijA_{ij} = a_{ij}m×nm \times n 행렬 A를 순서기저 β\betaγ\gamma에 대한 선형변환 T의 행렬표현이라 하고, A=[T]βγA = [T]^\gamma_\beta라 표기한다. 이때, V=W,β=γV = W, \beta = \gamma이면, 간단하게, A=[T]βA = [T]_\beta라 표기하자.

즉, 행렬을 이용한 선형 변환이란 하나의 공간에 위치한 벡터를 다른 공간으로 선형 변환하여 나타내는 과정을 의미한다.
이때 영변환의 행렬표현은 영행렬이 되고, 항등변환의 행렬표현은 n×nn \times nInI_n 항등행렬이 된다. 이제 행렬과 선형변환이 서로 연결되어 있음을 알 수 있다. 이때, 이 연결은 합과 스칼라곱을 보존한다.

정리 1. 즉, FF-벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T,U:VWT,U:V \to W에 대하여 다음이 성립한다.
1. 임의의 aFa \in F에 대하여 aT+UaT + U는 선형이다.
2. 선형변환의 합과 스칼라 곱을 정의할 때, VV에서 WW로 가는 모든 선형변환의 집합은 FF-벡터공간이다.

위의 두번째 성질에서 다음과 같은 정의가 도출된다.

정의 3. FF벡터공간 V,WV,W에 대하여 VV에서 WW로 가는 모든 선형변환의 모임으로 이루어진 벡터공간을 L(V,W)L(V, W)라 표기한다. 이때, V=WV = W라면 간단히 L(V)L(V)로 표기한다.

2. 선형변환의 합성과 행렬 곱

앞서 집합 L(V,W)L(V, W)가 벡터 공간의 공리를 만족하기 때문에, 선형변환의 합이 행렬의 합으로 표현될 수 있을 것이다. 그렇다면, 선형변환의 합성은 행렬로 표현하면 어떻게 될까? 행렬 곱으로 표현할 수 있다.

FF-벡터공간 V,W,ZV, W, Z와 선형변환 T:VW,U:WZT:V \to W, U: W \to Z를 생각하자. 두 선형변환의 합성 UT:VZUT:V \to Z는 선형변환이다.

즉, 선형 변환의 합성은 다시 선형변환이라는 것인데, 다음을 통해 확인할 수 있다.

UT(ax+y)=U(T(ax+y))=U(aT(x)+T(y))=U(aT(x)+U(T(y))=aU(T(x))+U(T(y))=aUT(x)+UT(y)UT(ax+y) = U(T(ax+y)) = U(aT(x) + T(y)) = U(aT(x) + U(T(y)) \\ = aU(T(x)) + U(T(y)) = aUT(x) + UT(y)

이제 선형변환의 합성이 선형변환임을 알았으니, 이를 어떻게 행렬곱이라 할 수 있는지 살펴보도록하자.

유한차원 벡터공간 V,W,ZV, W, Z와 선형변환 T:VW,U:WZT:V\to W, U: W\to Z가 있다. VV의 순서 기저 α={v1,,vn}\alpha = \{v_1, \dots, v_n\}, WW의 순서기저 β={w1,,wm}\beta = \{w_1, \dots, w_m\}, ZZ의 순서기저 γ={z1,,zp}\gamma = \{z_1, \dots, z_p\}에 대하여, A=[U]βγ,B=[T]αβA = [U]^\gamma_\beta, B = [T]^\beta_\alpha라 하자. 이때, AB=[UT]αγAB = [UT]^\gamma_\alpha가 되는 행렬곱을 정의해보자. 이때 UT(vj)UT(v_j)는 다음과 같이 자연스레 변환될 수 있을 것이다.

이때, Cij=i=1mAikBkjC_ij = \sum^m_{i = 1}A_{ik}B_{kj}이므로, 행렬곱은 다음과 같이 정의가 가능해집니다.

정의 : m×nm \times n 행렬 AAn×pn \times p 행렬 BB에 대하여 두 행렬 A,BA, B의 곱ABAB는 다음과 같이 정의된 m×pm \times p 행렬이다.
1im,1jp1 \leq i \leq m, 1\leq j\leq p에 대하여 (AB)ij=k=1nAikBkj(AB)_ij = \sum^n_{k = 1}A_{ik}B_{kj}

쉽게 표현하면 (AB)ij(AB)_{ij}AAii행과 BBjj열을 내적한 것이다.

이때, 행렬 곱에 대해 결합법칙은 성립하나, 교환법칙은 성립하지 않으며, 행렬곱의 전치는 위치가 바뀐다. 즉, (AB)T=BTAT(AB)^T = B^TA^T이다.

행렬의 성징은 다음과 같다.
AAm×nm \times n 행렬, BBCCn×pn \times p 행렬, DDEEq×mq \times m 행렬일때,

  1. A(B+C)=AB+AB,(D+E)A=(DA+EA)A(B + C) = AB + AB, (D+E)A = (DA + EA)
  2. 임의의 스칼라 aa에 대하여, a(AB)=(aA)B=A(aB)a(AB) = (aA)B = A(aB)
  3. ImA=A=AImI_mA= A = AI_m

행렬을 선형변환으로 볼 때, 일반적으로 행렬을 좌측에, 변환할 벡터를 오른쪽에 놓게 된다. 만약 행렬이 U:VWU: V \to W에서 A=[U]αβA = [U]_\alpha^\beta라면, AxAx이고, xVx \in V여야 행렬 AA가 선형변환 UU에 대응되기 때문이다. 이를 좌측 곱 변환이라 하며 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 :AAm×nm \times n행렬이고, 성분은 체 FF의 원소이다. 다음 선형변환을 간단히 LAL_A라고 표기하자.
LA:FmFn,LA(x)=AxL_A : F^m \to F^n, L_A(x) = Ax
이때, LAL_A는 좌측 곱 변환(left multiplication transformation)이라 한다. 이때, xxFnF^n의 열벡터이고, AxAxAAxx의 행렬곱이다.

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