6. Time and Frequency Characterization of Signals and Systems

주파수(CTFT) 영역에서 LTI 시스템

시간 영역에서의 컨볼루션 $(y(t)=x(t)∗h(t))$
= 주파수 영역에서의 곱셈 $(Y(jω)=X(jω)H(jω))$

전달 함수(Transfer function)

$H(j\omega)$ = 입력 대비 출력의 비율 $(Y(jω)/X(jω))$

LTI 시스템의 주파수 응답 $H(j\omega)$ : 크기와 위상 표현

크기
: 출력 신호의 크기 스펙트럼은 입력 신호 크기에 시스템의 Gain $|H(j\omega)|$를 곱한 것($|Y(j\omega)| = |H(j\omega)||X(j\omega)|$).

위상
: 출력 신호의 위상은 입력 신호 위상에 시스템의 위상 변이(Phase shift) $\angle H(j\omega)$를 더한 것 ($\angle Y(j\omega) = \angle H(j\omega) + \angle X(j\omega)$).

이상적인 저역 통과 필터(low-pass filter)의 크기 응답 예시

입력 신호($V_1$)가 저주파의 '정보 신호'와 고주파의 '노이즈'로 구성되어 있음

필터(H(ω))는 차단 주파수(cut-off frequency) $ω_c$ 내부의 신호는 Gain A만큼 통과시키고 , 밖의 신호는 0으로 만듦.

결과적으로 출력 신호($V_2$)에는 노이즈가 제거되고 정보 신호만 남게 됨 .

4가지 주요 필터의 크기 응답(∣H(ω)∣)

시스템의 위상 응답 특성

선형 위상 (Linear Phase)
: 위상이 주파수에 대해 선형 함수($∠H(jω)≈−ωα−ϕ$)인 경우

선형 위상은 시간 영역에서 신호의 모양을 왜곡시키지 않고
단순히 시간 지연(time-shift)시키는 효과만 가짐

Group Delay (군지연)

위상 응답을 주파수에 대해 미분한 값

• 선형 위상 시스템
  : 군지연 $\tau(\omega)$이 α로 일정.

• 비선형 위상 시스템
  : 군지연 $\tau(\omega)$이 주파수마다 달라짐. 이로 인해 주파수 성분별로 지연 시간이 달라져 신호가 왜곡됨.

이상적인 필터의 현실적인 문제점

이상적인 저역 통과 필터(주파수 영역에서 사각파)를 시간 영역으로 변환
→ 임펄스 응답 $h(t)$는 sinc 함수

sinc 함수는 t<0일 때도 0이 아니므로 비인과적(non-causal),
시간이 무한(−∞∼∞)하기 때문에 현실에서 구현이 불가능.

따라서 필터의 이상적인 성능과 현실적인 구현 가능성 사이에 트레이드오프(trade-off) 존재.

Butterworth 필터와 Elliptic 필터의 크기 응답

• Butterworth 필터: 천이 대역이 완만하지만(wide) 통과/차단 대역에 리플(ripple)이 없음

• Elliptic 필터: 천이 대역이 매우 급격하지만(sharp) 통과/차단 대역 모두에 리플이 존재

→ 더 급격한 차단 특성(Elliptic)을 얻는 대신,
리플을 감수해야 하는 트레이드오프 관계

First-order Continuous System

미분 방정식: $\tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)$ ex. RC 회로

전달 함수: $H(j\omega) = \frac{1}{j\omega\tau + 1}$

임펄스 응답: $h(t) = \frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t)$

Second-order Continuous System

미분 방정식: $\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 2\zeta\omega_n \frac{dy(t)}{dt} + \omega_n^2 y(t) = \omega_n^2 x(t)$

$ζ$(zeta)는 감쇠비(damping ratio), $ω_n$ 은 고유 주파수

전달 함수: $H(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2 + 2\zeta\omega_n (j\omega) + \omega_n^2}$

임펄스 응답: $h(t)$는 ζ 값에 따라 다른 형태를 가짐