4. Continuous-Time Fourier Transform

Continuous-Time Fourier Transform (CTFT)

주기 신호를 비주기 신호로 만들기 위해, 주기를 무한대(T→∞)로 보냄.
기본 주파수는 0(ω→0)에 접근

주기가 T가 커질수록(T=4T,8T,16T)
푸리에 급수 계수($Ta_k$)들이 더 촘촘해지며 연속적인 envelope에 가까워짐

푸리에 급수(FS) → 푸리에 변환(CTFT) 유도

비주기 신호 $x(t)$를 기반으로 주기 신호 $\tilde{x}(t)$를 만듦

a_k 계산 시, 적분 구간을 $[-T/2, T/2]$에서 $[-\infty, \infty]$로 확장

CTFT 정의
: 적분 항 전체를 $ω=kω_0$에서의 연속적인 함수 $X(j\omega)$로 새롭게 정의

T→∞가 되면, 주기 신호 $\tilde{x}(t)$는 비주기 신호 $x(t)$가 됨

CTFT 합성식(역변환식)

연속 시간 푸리에 변환(CTFT)

• 변환

  $X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t} dt$

• 합성

  $x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

푸리에 급수(FS)와 푸리에 변환(CTFT)의 관계

주기 신호의 이산적인 푸리에 급수 계수($a_k$)는
비주기 신호의 연속적인 푸리에 변환(X(jω))이라는 envelope 위의 샘플값

깁스 현상(Gibbs phenomenon)

사각파처럼 불연속적인(sharp) 신호를
주파수 대역을 제한하여(−W 에서 +W 까지만 적분) 복원할 때,
불연속 지점 근처에서 overshoot와 ripple이 발생하는 현상

시간-주파수 스케일링 관계

• 시간 영역에서 신호가 좁아지면(압축), 주파수 영역에서는 넓어짐(확장)

CTFT의 수렴 조건(Convergence)

$x(t)$가 절대 적분 가능(absolutely integrable)

해야 CTFT가 수렴

→ sin 함수 같은 주기 신호는 이 조건을 만족하지 않아,
일반적인 CTFT로는 수렴하지 않음

주기 신호의 CTFT

수렴 문제를 '임펄스 함수'를 이용해 해결

단일 주파수 신호 $x(t) = e^{j\omega_0 t}$의 CTFT는
$X(jω)=2πδ(ω−ω_0)$ (주파수 $ω_0$ 위치에 임펄스)가 됨.

일반적인 주기 신호 $x(t) = \sum a_k e^{jk\omega_0 t}$의 CTFT는
각 고조파 주파수($kω_0$) 위치에 $2πa_k$ 크기를 갖는 임펄스들의 합으로 표현

CTFT의 특성 (Properties)

선형성(Linearity)

시간 이동(Time Shift)

시간 영역에서의 이동은
주파수 영역에서 선형적인 위상 변화($−ωt_0$)를 유발

켤레(Conjugation)

$x(t)$가 실수 신호(real signal,$x(t)=x^*(t)$ )이면,
$X(j\omega)$는 켤레 대칭(conjugate symmetric)을 가짐

켤레 대칭의 특성(Conjugation Property)

• 크기 $|X(j\omega)|$는 우함수(even function).

• 위상 $\angle X(j\omega)$는 기함수(odd function).

• 실수부 $\text{Re}{X(j\omega)}$는 우함수, 허수부 $\text{Im}{X(j\omega)}$는 기함수.

CTFT의 미분/적분 특성

시간 영역 미분

시간 신호 $x(t)$를 미분하면($\frac{d}{dt}x(t)$), 주파수 영역에서 jω가 곱해짐

시간 영역 적분

시간 신호 $x(t)$를 적분하면($\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau$), 주파수 영역에서 jω로 나누어짐.
임펄스 항($\pi X(0)\delta(\omega)$)이 추가로 붙음.

푸리에 변환(FT)의 적분

시간 영역의 적분을 컨볼루션(Convolution)으로 변환

시간 및 주파수 스케일링

시간 영역에서 압축(compressed)되면(a>1),
주파수 영역에서 확장(expanded)되고 크기는 작아짐

이중성(Duality)

시간 영역의 사각 펄스($x_1(t)$)는 주파수 영역의 sinc 함수($X_1(jω)$)

파스발의 정리(Parseval's Theorem)

시간 영역에서 계산한 신호의 총 에너지 = 주파수 영역에서 계산한 총 에너지

컨볼루션(Convolution Property)

LTI 시스템의 출력 $y(t)=x(t)∗h(t)$ (시간 영역에서의 컨볼루션)은
주파수 영역에서 각 신호의 CTFT를 단순 곱셈한 것과 같음
: $Y(jω)=X(jω)H(jω)$

주파수 선택적 필터링(Frequency selective filtering)

frequecy 영역에서 desired signal 뽑아내는

곱셈(Multiplication Property)

시간 영역에서의 곱셈 r(t)=s(t)p(t)는
주파수 영역에서 컨볼루션 $\left( \frac{1}{2\pi} [S(j\omega) * P(j\omega)] \right)$와 같음

미분 방정식으로부터 임펄스 응답 h(t) 구하기

주어진 시간 영역의 미분 방정식을 주파수 영역으로 변환

• 주어진 방정식: $\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 4\frac{dy(t)}{dt} + 3y(t) = \frac{dx(t)}{dt} + 2x(t)$

푸리에 변환 적용
: 시간 영역의 미분은 주파수 영역에서 jω를 곱하는 것과 같음 $\left( \frac{d^k}{dt^k} \longleftrightarrow (j\omega)^k \right)$

H(jω) 구하기: 주파수 응답 $H(jω)= Y(jω)/X(jω)$ 식을 정리

역변환을 쉽게 하기 위해, $H(j\omega)$를 두 개의 분수 항으로 분해

역변환을 통해 h(t) 구하기