논리회로 소개(1)

chelseey·2025년 4월 13일
디지털논리설계

2진 회로(binary circuits) – 0과 1

Binary switch (이진 스위치)

Light controlled by a switch

Simple connection to a battery

S (Switch): 입력 신호 x로 제어되는 스위치.

  • x = 0이면 스위치는 열려 있어서 전류가 흐르지 않음 (전등 꺼짐)
  • x = 1이면 스위치는 닫혀 있어서 전류가 흐름 (전등 켜짐)

Using a ground connection as the return path (접지를 리턴 경로로 사용하는 회로)

접지를 통해 전류가 순환할 수 있는 경로를 만들어, 회로가 완성되면 전등이 켜짐

• 접지 : 전류가 다시 전원으로 돌아갈 수 있도록 함

이진 회로에서의 AND와 OR 논리 함수

The logical AND function (series connection, 직렬)

AND 연산 : x₁ · x₂ = 1일 때만 회로가 연결됨 (곱셈기)

전류가 흐르려면 두 스위치 모두 닫혀야 함 (x₁ = 1 AND x₂ = 1)
→ 이때만 전등(Light)이 켜짐

The logical OR function (parallel connection, 병렬)

OR 연산 : x₁ + x₂ = 1 이상일 때 회로가 연결됨 (덧셈기)

전류는 어느 한쪽 스위치라도 닫혀 있으면 (x₁ = 1 또는 x₂ = 1) 흐를 수 있음
→ 전등이 켜짐

직렬-병렬 연결(series-parallel connection) 을 이용한 이진 회로

  • 병렬 연결된 x₁, x₂:
    하나라도 1이면 전류가 흐를 수 있음 → x₁ + x₂ (OR 동작)

  • 직렬로 연결된 x₃:
    x₃ = 1일 때만 전체 회로가 완전히 연결됨 → (x₁ + x₂) ⋅ x₃ (AND 동작)

회로는 논리식 (x1+x2)⋅x3(x_1 + x_2) \cdot x_3를 구현

역 회로(NOT 연산)

  • 스위치가 닫힌 상태 (x = 1)
    전류가 스위치를 통해 흘러, 저항과 전등을 거치지 않기 때문에,
    전등 쪽으로 충분한 전류가 흐르지 않음
    → 전등은 켜지지 않아 출력 y=0

  • 스위치가 열린 상태 (x = 0)
    스위치가 열리면 전류가 저항을 지나 전등에 도달하게 되어
    전등에 충분한 전류가 공급
    → 전등이 켜지며 출력 y=1

→ 입력 x가 1일 때 출력 y는 0가 되고, 입력 x가 0일 때 출력 y는 1이 되어,
출력이 입력의 반대 값을 갖게 됨 (회로는 입력 신호를 반전시킴)

논리 네트워크의 분석

AND 게이트

모든 입력이 1일 때만 출력이 1

OR gates

하나라도 입력이 1이면 출력이 1
모두 0일 때만 출력이 0

NOT gate

입력 x → 출력은 반대 값 x̅ (NOT x)

논리 게이트로 구현한 회로

전기 회로

논리 회로

논리 네트워크의 예

논리회로: f = x̅₁ + x₁·x₂

  • NOT 게이트:
    x₁을 반전 → x̅₁ = A
  • AND 게이트:
    x₁과 x₂ → x₁·x₂ = B
  • OR 게이트:
    A + B = f

진리표

타이밍 다이어그램

시간 흐름에 따른 입력과 출력의 변화를 그래프로 표현한 것
수평 축: 시간(Time)
수직축: 논리 값 (0 또는 1)

  • x₁, x₂: 입력 신호
  • A: x̅₁ → x₁의 반전
  • B: x₁·x₂ → 둘 다 1일 때만 1
  • f: 최종 출력

논리 게이트 외부구조

전원 및 접지

  • 14번 핀: Vcc
    → +5V 전원 공급
  • 7번 핀: GND (Ground)
    → 접지(0V)

논리 게이트 연결 구성
ex. 핀 1에 A, 핀 2에 B 신호를 입력
→ 출력은 핀 3에서 나옴

NOT 게이트

입력의 논리값을 반전시켜 출력

F=A‾=A′F = \overline{A} = A'

Buffer 게이트

입력된 신호를 변경하지 않고 그대로 출력하는 게이트

F=AF = A

AND 게이트

두 개 이상의 입력을 받아 모든 입력이 1일 경우에만 출력이 1이 되는 게이트

F=A⋅B=ABF=A⋅B=AB

AND 게이트 IC

OR 게이트

입력값들 중 하나 이상이 1이면 출력은 1
모든 입력이 0일 때만 출력이 0

F=A+BF=A+B

OR 게이트 IC

NAND 게이트 (NOT + AND)

입력 A와 B가 모두 1일 때만 출력이 0,
그 외의 경우는 항상 출력이 1
→ AND 게이트의 결과를 반전(invert) 한 게이트

F=A⋅B‾=(A⋅B)′F = \overline{A \cdot B} = (A \cdot B)'

NAND 게이트 IC

NOR 게이트 (NOT + OR)

입력 A와 B가 모두 0일 때만 출력이 1,
하나라도 1이면 출력은 항상 0
→ OR 게이트의 결과를 반전(invert) 한 게이트

F=A⋅B‾=(A⋅B)′F = \overline{A \cdot B} = (A \cdot B)'

NOR 게이트 IC

XOR(Exclusive OR) 게이트

두 입력이 다를 때 출력이 1
입력값이 같으면 출력이 0

F=A⊕B=A‾B+AB‾F = A \oplus B = \overline{A}B + A\overline{B}

XOR(Exclusive OR) 게이트 IC

XNOR(Exclusive NOR) 게이트

XNOR는 XOR의 반대 동작을 하는 논리 게이트
입력값이 서로 같을 때만 출력이 1
입력이 다르면 출력은 0

→ XNOR = NOT(XOR)

F=A⊕B‾=A‾B+AB‾‾=AB+A‾B‾F = \overline{A \oplus B} = \overline{\overline{A}B + A\overline{B}} = AB + \overline{A}\overline{B}
F=A⊙BF = A \odot B

XNOR(Exclusive NOR) 게이트 IC

논리 게이트의 활용

AND 게이트를 이용한 자동차 좌석벨트 경보 시스템

F=A⋅B⋅CF=A⋅B⋅C
  • A (점화 스위치)
    시동이 걸리면 High(1) 상태
  • B (좌석벨트)
    좌석벨트가 풀려 있으면 High(1) 상태
  • C (타이머)
    점화 후 30초간 High(1) 유지되는 신호 발생
  • AND 게이트
    A, B, C가 모두 1일 때만 경보 출력 발생

OR 게이트를 이용한 침입 탐지 시스템

F=A+B+CF=A+B+C
  • 출입문
    문이 열리면 High(1), 닫히면 Low(0) 출력
  • 창문 1, 2
    열리면 1, 닫히면 0 출력
  • OR 게이트
    출입문 또는 창문 1개라도 열리면 출력이 1이 됨
  • 경보음 회로
    OR 게이트 출력이 1일 때 작동 → 침입 경고음 발생

→ 문이나 창문 중 하나라도 열리면 경보음 울림

기본적인 논리식의 특징

기본 논리식

논리 회로에서 출력 값을 결정하는 불 대수식 (Boolean expression)

AND (곱셈 형태)
두 개 이상의 입력이 모두 1이어야 출력이 1

A⋅B,ABA⋅B ,\quad AB

OR (덧셈 형태)
두 개 이상의 입력 중 하나라도 1이면 출력이 1

A+BA+B

NOT (보수, 반전)
입력의 상태를 반전시킴

A‾orA′\overline{A} \quad or \quad A'

1입력 논리식, 2입력 논리식, 3입력 논리식

• 1입력 논리식
입력 A의 값 하나만 보고 출력이 결정

• 2입력 논리식
각 행은 해당 입력 조합이 주어졌을 때 출력을 1로 만드는 최소항 (minterm)

• 3입력 논리식
각 조합마다 출력이 1이 되는 조건을 표현한 완전한 논리식 요소

완전한 논리식* : 회로의 모든 가능한 입력 상태(진리표의 모든 행)에 대해 출력 값을 결정하는 식
ex. 2입력 회로의 경우 4가지 입력 조합에 대해 출력이 정해져 있어야 함

부울대수 법칙

부울대수의 공리(Boolean Algebra Axioms)

디지털 회로나 논리식을 구축할 때,
증명 없이 무조건 참이라고 간주하는 기본 규칙들

부울대수의 기본 법칙 (기본,교환,결합,분배)

• 기본 법칙

•교환 법칙
순서를 바꿔도 결과는 같음

• 결합 법칙 (Associative Law)
괄호 위치를 바꿔도 결과는 같음

• 분배 법칙 (Distributive Law)
AND와 OR 사이의 분배 관계

부울대수의 기본 법칙 (드모르간, 흡수, 합의의 정리)

• 드모르간의 정리 (De Morgan's Theorem)
부정이 괄호 바깥에 있을 때, AND와 OR이 서로 바뀜

• 흡수 법칙 (Absorptive Law)
중복된 항을 제거할 수 있음

• 합의의 정리 (Consensus Theorem)
불필요한 중간 경로를 제거하여 최적화

드모르간 정리의 일반식

: 드모르간 법칙은 항의 개수가 늘어나도 그대로 적용

• 3항 드모르간 정리

A+B+C‾=A‾⋅B‾⋅C‾\overline{A + B + C} = \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}
A⋅B⋅C‾=A‾+B‾+C‾\overline{A \cdot B \cdot C} = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C}

• 4항 드모르간 정리

A+B+C+D‾=A‾⋅B‾⋅C‾⋅D‾\overline{A + B + C + D} = \overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C} \cdot \overline{D}
A⋅B⋅C⋅D‾=A‾+B‾+C‾+D‾\overline{A \cdot B \cdot C \cdot D} = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C} + \overline{D}

• 일반식 (n항에 대한 드모르간 정리)

A1+A2+A3+⋯+An‾=A1‾⋅A2‾⋅A3‾⋯An‾\overline{A_1 + A_2 + A_3 + \cdots + A_n} = \overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3} \cdots \overline{A_n}
A1A2A3⋯An‾=A1‾+A2‾+A3‾+⋯+An‾\overline{A_1 A_2 A_3 \cdots A_n} = \overline{A_1} + \overline{A_2} + \overline{A_3} + \cdots + \overline{A_n}
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