논리회로 소개(2)

chelseey·2025년 4월 13일

디지털논리설계

논리 회로를 논리식으로 유도

입력에서 시작해 게이트를 하나씩 통과할 때마다
그에 해당하는 논리 연산식을 써 나감

곱의 합(SOP)

Sum of Products: AND 항의 OR 구조
각 항(term)은 AND 연산 (곱의 항, product term)
여러 항들을 OR 연산으로 더한 것 (합의 항, sum term)

최소항(Minterm)

: SOP 표현식에서 각 항이 모든 변수들을 포함하고 있는 경우

최소항은 각 항마다 $A$ 또는 $\overline{A}$ , $B$ 또는 $\overline{B}$ , $C$ 또는 $\overline{C}$ , $D$ 또는 $\overline{D}$ 를 모두 포함해야 함

진리표로부터 최소항식을 표현하는 방법

진리표에서 출력 F가 1인 행만 찾음
각 행의 입력 조합을 보고 AND 항으로 변환
0인 입력 → 보수로 표현
1인 입력 → 그대로 사용
모든 최소항을 OR(+) 연산으로 연결

2변수 최소항의 표현 방법

3변수 최소항의 표현 방법

진리표에서 출력 F=1인 항만 뽑아서 SOP 형태로 표현

• 함수 F의 표현
출력이 1인 행: $m_0, m_1, m_3, m_5, m_7$
SOP(곱의 합) 표현식:

F(A, B, C) = \sum m(0, 1, 3, 5, 7)

= \overline{A}\overline{B}\overline{C} + \overline{A}\overline{B}C + \overline{A}B\overline{C} + A\overline{B}\overline{C} + ABC

• 보수 함수 F̅ 표현
출력이 0인 항:
SOP(곱의 합) 표현식: $m_2, m_4, m_6$

\overline{F}(A, B, C) = \sum m(2, 4, 6)

= \overline{A}B\overline{C} + A\overline{B}\overline{C} + AB\overline{C}

4변수 최소항의 표현 방법

출력이 1인 경우 (F=1이 되는 입력 조합들):

F(A, B, C, D) = \sum m(0, 1, 5, 9, 11, 15)

= \overline{A}BCD + A\overline{B}CD + A\overline{B}C\overline{D} + AB\overline{C}D + AB\overline{C}\overline{D} + ABC\overline{D}

최소항이 아닌 부울 대수식을 최소항식으로 변환하는 방법

F(A, B, C, D) = \overline{A}BC + A\overline{B} + ABC\overline{D}

일부 항이 모든 변수(A, B, C, D)를 포함하고 있지 않기 때문에 최소항 형태가 아님

• 첫 번째 항 $\overline{A}BC$
: 변수 D가 없음
$D + \overline{D} = 1$ 을 곱하면 논리식 값은 동일하게 유지되고 D가 추가됨

\overline{A}BC = \overline{A}BC(D + \overline{D}) = \overline{A}BCD + \overline{A}BC\overline{D}

• 두 번째 항 $\overline{A}B$
: C, D가 없음
$(C + \overline{C})(D + \overline{D})$ 곱하기

\overline{A}B = \overline{A}B(C + \overline{C})(D + \overline{D})

= \overline{A}BCD + \overline{A}BC\overline{D} + \overline{A}B\overline{C}D + \overline{A}B\overline{C}\overline{D}

• 세 번째 항 $ABC\overline{D}$
: 이미 모든 변수를 포함하므로 최소항 형태

• 최종 결과

F(A, B, C, D) = \overline{A} \overline{B} \overline{C} \overline{D} + \overline{A} \overline{B} \overline{C} D + \overline{A} \overline{B} C \overline{D} + \overline{A} \overline{B} CD + A B \overline{C} \overline{D} + A B \overline{C} D + A B C \overline{D}

= \sum m(0, 1, 2, 3, 10, 11, 13)

합의 곱(POS, Product of Sum)

합의 항(OR)들을 곱(AND)으로 연결한 논리식
각 괄호 안은 합의 항 (sum term)이고, 이들을 AND로 곱한 형태

최대항(Maxterm)

모든 OR 항이 모든 변수 포함 → 최대항

진리표를 보고 최대항식으로 표현

출력 F가 0인 행만 선택하여, 그에 해당하는 최대항을 나열

F(A, B, C) = \prod M(0, 1, 3, 5, 7)

= (A + B + C)(A + B + \overline{C})(A + \overline{B} + \overline{C})(\overline{A} + B + \overline{C})(\overline{A} + \overline{B} + \overline{C})

최소항과 최대항의 관계

최소항과 최대항은 서로 보수 관계를 가짐

공통 인수를 찾아내어 논리식을 간소화

원래 논리식
$\overline{A}B\overline{C} + \overline{A}BC + A\overline{B}\overline{C} +A\overline{B}C + ABC$
항들을 묶기
: 항들을 공통된 부분끼리 그룹핑
$(\overline{A}B\overline{C} + \overline{A}BC) + (A\overline{B}\overline{C} + A\overline{B}C) + ABC$
공통 인수 묶기 (분배법칙 적용)
$\overline{A}B\overline{C} + \overline{A}BC = \overline{A}B(C + \overline{C}) = \overline{A}B(1) = \overline{A}B$

A\overline{B}\overline{C} + A\overline{B}C = A\overline{B}(\overline{C} + C)= A\overline{B}

최종 결과 $F = \overline{A}B + A\overline{B} + ABC$

동일 항을 추가하여 논리식의 간소화

동일한 항을 일부러 추가해서 논리식을 간소화하는 기법

원래 논리식
$\overline{A}\overline{B}C + \overline{A}B\overline{C} + A\overline{B}C + \overline{A}BC + ABC$
항 추가 (동일한 항)
$\overline{A}\overline{B}C + \overline{A}B\overline{C} + A\overline{B}C + \overline{A}BC + ABC + \textcolor{red}{AB\overline{C}}$
X+X=X이므로 식 자체에는 영향 없음
항을 묶기
$= (\overline{A}\overline{B}C + \overline{A}B\overline{C}) + (A\overline{B}C + AB\overline{C}) + (ABC + \overline{A}BC)$
공통 인수 묶기 (분배법칙 사용)
$= \overline{A}B(\overline{C} + C) + A\overline{B}(\overline{C} + C) + AC(B + \overline{B})$
최종 결과
$F = \overline{A}B + A\overline{B} + AC$

chelseey

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