[이코테] 다이나믹 프로그래밍 - 1로 만들기

🔔 문제

정수 X가 주어질 때 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지이다.

1. X가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눈다.
2. X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.
3. X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.
4. X에서 1을 뺀다.

정수 X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 1을 만들려고 한다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하시오.

예를 들어 정수가 26이면 다음과 같이 계산해서 3번의 연산이 최솟값이다.

1. 26 - 1 = 25
2. 25 / 5 = 5
3. 5 / 5 = 1

입력

• 첫째 줄에 정수 X가 주어진다. (1<=X<=30,000)

출력

• 첫째 줄에 연산을 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.

🎯 풀이방법

이 문제는 잘 알려진 다이나믹 프로그래밍 문제이다. 피보나치 수열 문제를 도식화했던 것처럼 문제를 풀기 전에 함수가 호출되는 과정을 그림으로 그려보면 이해하는 데 도움이 된다. 문제에서 요구하는 내용을 점화식으로 표현해보면 아래와 같다.

a(i) = min(a(i-1), a(i/2), a(i/3), a(i/5)) + 1

점화식 끝에 1을 더해주는 이유는 함수의 호출 횟수를 구해야 하기 때문이다. 실제 코드로 구현할 때는 1을 빼는 연산을 제외하고는 해당 수로 나누어 떨어질 때에 한해서만 점화식을 적용할 수 있다. 더불어 두 수 중에서 단순히 더 작은 수를 구하고자 할 때는 파이썬에서의 min() 함수를 이용하면 간단하다.

💻 python code

x = int(input())

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 30001
for i in range(2, x+1):
    # 현재의 수에서 1을 빼는 경우
    d[i] = d[i-1] + 1

    # 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
    if i%2 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i//2]+1)
    # 현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
    if i%3 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i//3]+1)
    # 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
    if i%5 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i//5]+1)

print(d[x])