신장 트리

: 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

💡 트리의 조건 : 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건

Minimum Spanning Tree(MST, 최소 신장 트리)

: 최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리

예시 : N개의 도시가 있을 때, 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우

Kruscal Algorithm(크루스칼 알고리즘)

: 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘

• 그리디 알고리즘으로 분류됨

동작 과정

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
   2-1. 사이클이 발생하지 않는 경우 → 최소 신장 트리에 포함시킴
   2-2. 사이클이 발생하는 경우 → 최소 신장 트리에 포함시키지 않음
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정 반복

크루스칼 알고리즘을 구현한 python 코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
	if parent[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
   	if a < b:
    	parent[b] = a
    else:
    	parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)	# 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
	parent[i] = i
    
# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
	a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용 순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용 순으로 정렬
edges.sort()
    
# 간선을 하나씩 확인하며, 
for edge in edges:
	cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
    	union_parent(parent, a, b)
        result += cost
        
print(result)

크루스칼 알고리즘 성능 분석

• 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가짐
• 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선의 정렬을 수행하는 부분
  • 표준 라이브러리를 이용해, E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE)