위상 정렬

: 사이클이 없는 방향 그래프(DAG)의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것

• DAG에 대해서만 수행 가능

  DAG (Directed Acyclic Graph)
  사이클이 없는 방향 그래프

• ex) 선수강 과목을 고려한 학습 순서 설정

• Indegree(진입 차수) : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

• Outdegree(진출 차수) : 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

• DFS, Queue 등을 이용하여 구현 가능

• 여러 가지의 답이 존재함 (한 단계에서 큐에 새로 들어가는 원소가 2개 이상일 수 있음)

• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재하는 것임

  • 사이클에 포함된 원소 중 어떤 원소도 큐에 들어갈 수 없음(indegree가 0이 못 됨)

동작 과정

1. 진입 차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.

2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   2-1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
   2-2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

=> 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.

위상 정렬 알고리즘을 구현한 python 코드

from collections import deque

v, e = map(int, input().split())	# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
indegree = [0] * (v+1)	# 모든 노드에 대한 진입 차수는 0으로 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]	# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
	a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)	# 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1
    
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
	result = []
    q = deque()
    
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v+1):
    	if indegree[i] == 0:
        	q.append(i)
    
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
    	now = q.popleft()
        result.append(now)
        
        for i in graph[now]:
        	indegree[i] -= 1
            if indegree[oi] == 0:
            q.append(i)
	
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
    	print(i, end=" ")

topology_sort()

위상 정렬 성능 분석

O(V+E)

: 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 하기 때문