기타 그래프 이론 (Disjoint Sets, 크루스칼, 위상 정렬)

1. 서로소 집합(Disjoint Sets) 자료구조

1) 개요

• 서로소 집합이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미함
• 서로소 집합 자료구조란 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
• 서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원
  • Union(합집합) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
  • Find(찾기) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
• 서로소 집합 자료구조는 Union Find 자료구조라고 불리기도 함

2) 동작 과정

1. Union 연산을 확인하여 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인함
   1) A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾음
   2) A'를 B'의 부모 노드로 설정
2. 모든 Union 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복함

3) 동작 과정 살펴보기

• 
• 
• 
• 
• 

4) 연결성

• 서로소 집합 자료구조에서는 연결성을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인할 수 있음
  
  • 두 개의 집합으로 나누어짐
• 기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없음
  • 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 함
• 다음 예시에서 노드 3의 루트를 찾기 위해서는 노드 2를 거쳐 노드 1에 접근해야 함
  

5) 기본적인 구현 방법

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
  # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
  if parent[x] != x:
    return find_parent(parent, parent[x])
  return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
  a = find_parent(parent, a)
  b = find_parent(parent, b)
  if a < b:
    parent[b] = a
  else:
    parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
  parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
  a, b = map(int, input().split())
  union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합 : ', end = '')
for i in range(1, v + 1):
  print(find_parent(parent, i), end = ' ')
print()

# 부모 테이블 내용 출력하ㅣㄱ
print('부모 테이블 : ', end = '')
for i in range(1, v + 1):
  print(parent[i], end = ' ')
print()

# input
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6

# output
각 원소가 속한 집합 : 1 1 1 1 5 5 
부모 테이블 : 1 1 2 1 5 5

6) 기본적인 구현 방법의 문제점

• Union 연산이 편향되게 이루어지는 경우 Find 함수가 비효율적으로 동작함
• 최악의 경우에는 Find 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(V)가 됨
• 다음과 같이 {1, 2, 3, 4, 5}의 총 5개의 원소가 존재하는 상황을 확인해보면 5번 노드에 대한 루트 노드를 찾기 위해서 Find 함수를 호출하면 모든 노드에 대해서 Find 함수를 호출해야 함
  

7) 경로 압축(Path Compression)

• Find 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축을 이용할 수 있음
• Find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신함

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
  # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
  if parent[x] != x:
    # 경로 압축 : 부모 테이블 값을 바로 갱신
    parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
  return parent[x]

• 경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 Find 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 됨
• 동일한 예시에 대해 모든 Union 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 Find 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 갱신됨
  
• 기본적인 방법에 비하여 시간 복잡도가 개선됨

2. 사이클 판별 알고리즘

1) 서로소 집합을 활용한 사이클 판별

• 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있음

  • 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있음

• 사이클 판별 알고리즘

  1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인
     1) 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 Union 연산을 수행
     2) 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것임
  2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복함

2) 동작 과정 살펴보기

• [초기 단계] 모든 노드에 대하여 자기 자신을 부모로 설정하는 형태로 부모 테이블을 초기화
  
• [Step 1] 간선 (1, 2)를 확인함
  노드 1과 노드 2의 루트 노드는 각각 1과 2
  따라서 더 큰 번호에 해당하는 노드 2의 부모 노드를 1로 변경함
  
• [Step 2] 간선 (1, 3)를 확인함
  노드 1과 노드 3의 루트 노드는 각각 1과 3
  따라서 더 큰 번호에 해당하는 노드 3의 부모 노드를 1로 변경함
  
• [Step 3] 간선 (2, 3)를 확인함
  이미 노드 2와 노드 3의 루트 노드는 모두 1임
  다시 말해 사이클이 발생함 (이미 같은 집합에 속해있음)
  

3) 구현 방법

# 앞 부분 코드는 동일하므로 생략

cycle = False # 사이클 발생 여부

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
  a, b = map(int, input().split())
  # 사이클이 발생한 경우 종료
  if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
    cycle = True
    break
  # 사이클이 발생하지 않았다면 Union 연산 수행
  else:
    union_parent(parent, a, b)

if cycle:
  print("사이클이 발생했습니다.")
else:
  print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

# input
3 3
1 2
1 3
2 3

# output
사이클이 발생했습니다.

3. 최소 신장 트리 알고리즘

1) 신장 트리

• 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프
  • 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 함
    

2) 최소 신장 트리

• 최소한의 비용으로 구성되는 신장트리를 찾아야 할 때
• 예를 들어 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우
  • 두 도시 A, B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치함
    

3) 크루스칼 알고리즘

• 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
• 그리디 알고리즘으로 분류됨
• 구체적인 동작 과정

  1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
  2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인함
     1) 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킴
     2) 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않음
  3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복함

4) 동작 과정 살펴보기

• [초기 단계] 그래프의 모든 간선 정보에 대하여 오름차순 정렬을 수행함
  
• [Step 1 ~ 9] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선을 선택하여 처리함
  
• [알고리즘 수행 결과] 최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당함
  
• 최종 비용 = 159

5) 크루스칼 알고리즘 구현

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
  # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
  if parent[x] != x:
    parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
  return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
  a = find_parent(parent, a)
  b = find_parent(parent, b)
  if a < b:
    parent[b] = a
  else:
    parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
  parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for i in range(e):
  a, b, cost = map(int, input().split())
  # 비용 순으로 정렬하기 위해 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
  edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
  cost, a, b = edge
  # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
  if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
    union_parent(parent, a, b)
    result += cost

print(result)

# input
7 9
1 2 29
1 5 75
2 3 35
2 6 34
3 4 7
4 6 23
4 7 13
5 6 53
6 7 25

# output
159

6) 크루스칼 알고리즘 성능 분석

• 크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가짐
• 크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선 정렬을 수행하는 부분임
  • 표준 라이브러리를 이용해 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE)임

4. 위상 정렬

1) 개요

• 사이클이 없는 방향 그래프는 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미함
• 예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정
  
  • 위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서
    : 자료구조 -> 알고리즘 -> 고급 알고리즘

2) 진입차수와 진출차수

• 진입차수(Indegree) : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출차수(Outdegree) : 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수
  

3) 위상 정렬 알고리즘

• 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정

  1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣음
  2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복함
     1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거함
     2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣음

• 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같음

4) 위상 정렬 동작 예시

• 위상 정렬을 수행할 그래프를 준비함
• 이때 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프(DAG)여야 함
  
• [초기 단계] 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣음
  
• [Step 1] 큐에서 노드 1을 꺼낸 뒤에 노드 1에서 나가는 간선을 제거함
  새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입함
  
• [Step 2] 큐에서 노드 2를 꺼낸 뒤에 노드 2에서 나가는 간선을 제거함
  
• [Step 3] 큐에서 노드 5를 꺼낸 뒤에 노드 5에서 나가는 간선을 제거함
  
• [Step 4] 큐에서 노드 3를 꺼낸 뒤에 노드 3에서 나가는 간선을 제거함
  
• [Step 5] 큐에서 노드 6를 꺼낸 뒤에 노드 6에서 나가는 간선을 제거함
  
• [Step 6] 큐에서 노드 4를 꺼낸 뒤에 노드 4에서 나가는 간선을 제거함
  
• [Step 7] 큐에서 노드 7을 꺼낸 뒤에 노드 7에서 나가는 간선을 제거함
  
• [위상 정렬 결과]
  큐에 삽입된 전체 노드 순서 : 1-> 2 -> 5 -> 3 -> 6 -> 4 -> 7
  

5) 위상 정렬의 특징

• 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있음
  • DAG(Direct Acyclic Graph) : 순환하지 않는 방향 그래프
• 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있음
  • 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재함
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있음
  • 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못함
• 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있음

6) 위상 정렬 알고리즘 구현

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
  a, b = map(int, input().split())
  graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
  # 진입 차수를 1 증가
  indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
  result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
  q = deque() 
  # 처음 시작할 때는 진입 차수가 0인 노드를 큐에 삽입
  for i in range(1, v + 1):
    if indegree[i] == 0:
      q.append(i)
  # 큐가 빌 때까지 반복
  while q:
    # 큐에서 원소 꺼내기
    now = q.popleft()
    result.append(now)
    # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입 차수에서 1 빼기
    for i in graph[now]:
      indegree[i] -= 1
      # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
      if indegree[i] == 0:
        q.append(i)

  # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
  for i in result:
    print(i, end = ' ')

topology_sort()

# input
7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
5 6
3 4
6 4
4 7

# output
1 2 5 3 6 4 7 

7) 위상 정렬 알고리즘 성능 분석

• 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 함
• 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V + E)

출처 : 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬