Shortest Path Algorithm

shin·2022년 7월 29일
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Python DataStructure & Algorithm

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1. 최단 경로 문제

  • 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
  • 다양한 문제 상황이 존재함
  • 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
  • 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

2. 다익스트라 최단 경로 알고리즘

1) 개요

  • 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류됨
    • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복함

2) 동작 과정

  1. 출발 노드를 설정
  2. 최단 거리 테이블을 초기화
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신함
  5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복함
  • 알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있음
  • 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 갱신함

3) 동작 과정 살펴보기

  • 이미 방문한 노드는 최단 경로 값이 바뀌지 않기 때문에 무시해도 됨
  • 마지막 노드는 처리하지 않아도 됨

4) 특징

  • 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복함
  • 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않음
    • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있음
  • 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됨
    • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스 코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 함

5) 간단한 구현 방법

  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)함
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력 받기
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]

# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
visited = [False] * (n + 1)

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보 입력 받기
for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
  min_value = INF
  index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
  for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] < min_value and not visited[i]:
      min_value = distance[i]
      index = i
  return index

# 다익스트라 최단 경로 알고리즘
def dijkstra(start):
  # 시작 노드에 대해서 초기화
  distance[start] = 0
  visited[start] = True
  for j in graph[start]:
    distance[j[0]] = j[1]

  # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
  for i in range(n - 1):
    # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
    now = get_smallest_node()
    visited[now] = True
    # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
    for j in graph[now]:
      cost = distance[now] + j[1]
      # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[j[0]]:
        distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
  # 도달할 수 없는 겨우, 무한이라고 출력
  if distance[i] == INF:
    print("INFINITY")
  # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
  else:
    print(distance[i])
# input
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 4 2
2 3 3
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2
# output
0
2
3
1
2
4

6) 간단한 구현 방법 성능 분석

  • 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 함
  • 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V^2)
  • 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있음
    • 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 시간 초과를 피하기 위해 더 효율적인 방식을 사용해야함

7) Priority Queue 이용 (heap)

  • 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조

  • 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원

    • Stack : 가장 나중에 삽입된 데이터가 추출됨
    • Queue : 가장 먼저 삽입된 데이터가 추출됨
    • Priority Queue : 가장 우선 순위가 높은 데이터가 추출됨

  • Heap은 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나

import heapq

# 오름차순 힙 정렬 (heap sort)
def heapsort(iterable):
  h = []
  result = []
  # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
  for value in iterable:
    heapq.heappush(h, value)
  # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
  for i in range(len(h)):
    result.append(heapq.heappop(h))
  return result

result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
  • Max Heap
import heapq

# 내림차순 힙 정렬 (heap sort)
def heapsort(iterable):
  h = []
  result = []
  # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
  for value in iterable:
    heapq.heappush(h, -value) # 데이터의 부호를 바꿔서 넣음
  # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
  for i in range(len(h)):
    result.append(-heapq.heappop(h)) # 데이터의 부호를 바꿔서 꺼냄
  return result

result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)
[9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]
  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙 자료구조를 이용
  • 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일함
    • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다름
    • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용

8) 동작 과정 살펴보기

  • 힙으로 구현된 우선순위 큐에 튜플(거리, 노드)을 넣어주면 거리를 기준으로 정렬됨

9) 개선된 구현 방법

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보 입력 받기
for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b, c))

# 다익스트라 최단 경로 알고리즘
def dijkstra(start):
  q = []
  # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
  heapq.heappush(q, (0, start))
  distance[start] = 0

  while q: # 큐가 비어 있지 않다면
    # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
    dist, now = heapq.heappop(q)
    # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
    if distance[now] < dist:
      continue
    # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
    for i in graph[now]:
      cost = dist + i[1]
      # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[i[0]]:
        distance[i[0]] = cost
        heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
      
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
  # 도달할 수 없는 겨우, 무한이라고 출력
  if distance[i] == INF:
    print("INFINITY")
  # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
  else:
    print(distance[i])

10) 개선된 구현 방법 성능 분석

  • 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)

  • 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않음

    • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있음

  • 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사함

    • 시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있음
    • 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있음

      O(ElogE) -> O(ElogV^2) -> O(2ElogV) -> O(ElogV)


2. Floyd-Warshall 알고리즘

1) 개요

  • 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산
  • 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행함
    • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않음
  • 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장함
  • 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속함
  • 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인
    • a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사함
  • 점화식

2) 동작 과정 살펴보기

  • 1번 노드에서 1번 노드로 가는 경우와 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 경우를 제외하고 테이블이 갱신이 됨

3) 알고리즘 구현

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력 받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
  for b in range(1, n + 1):
    if a == b:
      graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
  # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
  a, b, c = map(int, input().split())
  graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
  for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
      graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
  for b in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if graph[a][b] == INF:
      print("INFINITY", end = ' ')
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
      print(graph[a][b], end = ' ')
  print()
# input
4
7 
1 2 4
1 4 6
2 1 3
2 3 7
3 1 5
3 4 4
4 3 2
# output
0 4 8 6 
3 0 7 9 
5 9 0 4 
7 11 2 0

4) 플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

  • 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행함
    • 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려함
  • 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)

이코테 최단 경로 문제 풀이

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬

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