Euler transforms and Quaternions

SYiee·2023년 8월 19일

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📌 Euler Transforms

오일러 트랜스폼에는 문제가 존재한다. 이 문제가 무엇이고 이를 개선시킨 방안인 Quaternions에 대해 살펴보자.

Euler Transforms이란?

오일러 앵글로 회전을 할 때는 x,y,z 축을 기준으로 회전을 했다. 그런데 만약 임의의 축을 기준으로 회전하고 싶으면 어떻게 할까?

The order of rotation

오일러 회전은 순서가 굉장히 중요했다! 명시적으로 어떤 순서로 회전을 할 것인지 설정을 해주었어야 했다.
아래 사진처럼 회전 순서를 바꾸면 결과가 완전히 달라지게 된다.

Keyframe Animation

오일러 회전의 문제에 대해 알기 위해 Keyframe Animation을 살펴보고자 한다.

✔ Keyframe Animation in 2D

보통 키프레임 몇 개를 그리고 그 사이의 보간은 interpolation을 통해 컴퓨터가 만들어낸다.

✔ Keyframe Animation in 3D

Sampling between keyframes.
샘플링하여 보간된 데이터를 얻어와 사이의 애니메이션을 생성한다

Animation smoothing

키프레임사이의 각지게 만들면 어색할 수 있다. 여러번 샘플링할 수 도 있겠지만 스무딩 알고리즘을 통해 자연스럽게 할 수 있다.
→ higher-order interpolation

Euler angle 의 문제점

Euler angles is intuitive and easy to use!

하지만! 두개의 서로 다른 Euler Rotation을 인터폴레이션을 할 때 생각보다 스무스하게 되지 않는다
→ 뭔가 미묘하게 정확히 인터폴레이션 같지 않게 나타난다

💡 왜 이런 문제가 발생할까?

Euler rotation 은 물체가 특정 축을 기준으로 회전을 하는 것이다.

✔ 오일러 트랜스폼의 문제 1

Euler angle rotates object only along the axis.
(60, 30, 45) 회전하며 축이 꼬이게 된다.
→ x y z가 모두 한번에 회전하게 된다.
- 각도에 대한 보간이 서로 똑같은 인터벌을 가지는 회전으로 나타나지 않는다
  ⇒ 이런 특성으로 우리가 원하는 형태로 움직이지 않는다

✔ 오일러 트랜스폼의 문제 2

회전 축 두개가 겹치면서 한 축에 대한 회전을 구현할 수 없는 상태가 되어버린다. gimbal lock이 발생하면 DoF를 잃는다.
→ 이를 해결하기 위해 예전에는 90도 회전을 막고 89도 회전을 시키기도 했다.

📌 Quaternion

A quaternion is an extended complex number.

Gimbal lock의 해결책

Quaternions are more compact, efficient, and numerically stable compared to Euler Rotation
오일러 회전에 비해 장점들이 많지만

However, quaternions look more complex and difficult to understand
이해하기 어렵고 복잡하다

연속으로 다른 쿼터니언으로 회전을 시킬 때 손쉽게 합칠 수 있다.

$q = (q_v, q_w)$
- q_v : vector part (imaginary part) 허수부
- q_w : the scalar part (real part) 실수부

✔ Hamilton Product

두개의 Quaternion p와 q의 product

✔ Conjugation of the quaternion

$(PQ)^* = q^*p^*$

✔ Unit Quaternion

The magnitude of a quaternion p
→ the square root of the product of a quaternion with its conjugate

unit quaternion : norm is 1

Interpolation of Quaternions

Quaternion : 회전 상태를 말한다. 회전 시키는 것이 아니라

→ key frame 0 에서 큐브의 쿼터니언이 있고 key1에서 큐브의 쿼터니언이 있는 것이다
Quaternion interpolation
→ 오일러에 비해 자연스럽게 잘 된다.
→ slerp이라는 함수를 사용한다.
Unity는 기본적으로 쿼터니언을 사용한다.