Geometry - Vector Equations and Spans

Vector Equation의 Augmented matrices로의 표현

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우리는 위의 $x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + ... + x_{p}v_{p}$ (Linear combinations of vectors == vector equations)를 아래의 Augmented matrices로 표현하는 것도 가능하다.

예시 : 2개의 3차원 백터의 올바른 계수를 찾는 과정

Span

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Span은 $x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + ... + x_{p}v_{p} = b$ 에서 임의의 $x_{1},x_{2},...x_{p}$ 로 생성할 수 있는 모든 $b$의 집합을 의미한다.

이를 수식으로 표현하면 다음과 같다

$Span\{v_{1},v_{2},...v_{p}\} = \{x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + ... + x_{p}v_{p}\;|\;x_{1},x_{2},...x_{p} \; in \; R \}$

이를 다르게 표현하면 $Span\{v_{1},v_{2},...v_{p}\}$ 이 $x_{1},x_{2},...x_{p}$ 에 의해서 Spanned by 혹은 generated by 라고 표현할수 있다.

따라서 vector $b$가 $x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + ... + x_{p}v_{p}$ 의 Span에 포함된다면, 해당 벡터 방정식은 해가 존재한다.

위 그림의 1,2,3 번은 모두 동치이다.(하나 틀리면 다 틀리고 하나 맞으면 다 맞음)

※ 편하게 생각하면 Span이란 선형결합으로 표현 가능한 모든 백터의 값들이다.

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