수열과 점화식

김소은·2025년 6월 11일
수열점화식

주어진 점화식:

  • 초기값: a0=4,a1=5a_0 = 4, a_1 = 5
  • 점화식: (an−n)⋅4=an+1(a_n - n) \cdot 4 = a_{n+1} for n>0n > 0

이를 정리해보면:

an+1=4(an−n)a_{n+1} = 4(a_n - n)

1단계: 일반항 ana_n 유도

점화식을 직접 풀기 위해 몇 개 항을 계산해보자.

항 계산:

  • a0=4a_0 = 4
  • a1=5a_1 = 5
  • a2=4(a1−1)=4(5−1)=16a_2 = 4(a_1 - 1) = 4(5 - 1) = 16
  • a3=4(a2−2)=4(16−2)=56a_3 = 4(a_2 - 2) = 4(16 - 2) = 56
  • a4=4(a3−3)=4(56−3)=212a_4 = 4(a_3 - 3) = 4(56 - 3) = 212
  • a5=4(a4−4)=4(212−4)=832a_5 = 4(a_4 - 4) = 4(212 - 4) = 832

패턴이 보이지 않으면 점화식을 일반항으로 변형해보자.

2단계: 변형

점화식:

an+1=4an−4na_{n+1} = 4a_n - 4n

1차 비동차 점화식이다. 이걸 풀기 위해선 특수해 + 일반해 형태로 접근한다.

관련 동차 방정식:

an+1=4an⇒an(h)=C⋅4na_{n+1} = 4a_n \quad \Rightarrow \quad a_n^{(h)} = C \cdot 4^n

특수해 an(p)a_n^{(p)}

우변이 −4n-4n이므로 특수해는 An+BAn + B 형태로 가정한다.

an+1(p)=4an(p)−4n⇒A(n+1)+B=4(An+B)−4na_{n+1}^{(p)} = 4a_n^{(p)} - 4n \Rightarrow A(n+1) + B = 4(An + B) - 4n

좌변: An+A+BAn + A + B
우변: 4An+4B−4n4An + 4B - 4n

비교하면:

An+A+B=4An−4n+4B⇒(A−4A+4)n+(A+B−4B)=0⇒(−3A+4)n+(A−3B)=0An + A + B = 4An - 4n + 4B \Rightarrow (A - 4A + 4)n + (A + B - 4B) = 0 \Rightarrow (-3A + 4)n + (A - 3B) = 0

항등식이므로 계수 비교:

{−3A+4=0A−3B=0⇒A=43,B=49\begin{cases} -3A + 4 = 0 \\ A - 3B = 0 \end{cases} \Rightarrow A = \frac{4}{3},\quad B = \frac{4}{9}

3단계: 일반해 구하기

an=C⋅4n+43n+49a_n = C \cdot 4^n + \frac{4}{3}n + \frac{4}{9}

4단계: 초기 조건으로 CC 결정

초기값 a1=5a_1 = 5 이용:

5=C⋅41+43⋅1+49=4C+43+49=4C+12+49=4C+1695 = C \cdot 4^1 + \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{4}{9} = 4C + \frac{4}{3} + \frac{4}{9} = 4C + \frac{12 + 4}{9} = 4C + \frac{16}{9}
5=4C+169⇒4C=5−169=45−169=299⇒C=29365 = 4C + \frac{16}{9} \Rightarrow 4C = 5 - \frac{16}{9} = \frac{45 - 16}{9} = \frac{29}{9} \Rightarrow C = \frac{29}{36}

5단계: 일반항

an=2936⋅4n+43n+49a_n = \frac{29}{36} \cdot 4^n + \frac{4}{3}n + \frac{4}{9}

6단계: 합 공식

수열의 합 SN=∑n=0NanS_N = \sum_{n=0}^{N} a_n

SN=∑n=0N(2936⋅4n+43n+49)=2936∑n=0N4n+43∑n=0Nn+49(N+1)S_N = \sum_{n=0}^{N} \left( \frac{29}{36} \cdot 4^n + \frac{4}{3}n + \frac{4}{9} \right) = \frac{29}{36} \sum_{n=0}^N 4^n + \frac{4}{3} \sum_{n=0}^N n + \frac{4}{9}(N+1)

각 부분 합:

  • 등비합:

    ∑n=0N4n=4N+1−13\sum_{n=0}^N 4^n = \frac{4^{N+1} - 1}{3}

  • 등차합:

    ∑n=0Nn=N(N+1)2\sum_{n=0}^N n = \frac{N(N+1)}{2}

최종 공식:

SN=2936⋅4N+1−13+43⋅N(N+1)2+49(N+1)S_N = \frac{29}{36} \cdot \frac{4^{N+1} - 1}{3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{N(N+1)}{2} + \frac{4}{9}(N+1)

정리하면:

SN=29108(4N+1−1)+23N(N+1)+49(N+1)\boxed{ S_N = \frac{29}{108}(4^{N+1} - 1) + \frac{2}{3}N(N+1) + \frac{4}{9}(N+1) }
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