하삼각 행렬들의 곱은 항상 하삼각 행렬임을 증명

“하삼각 행렬들의 곱은 항상 하삼각 행렬이다”

✅ 정의: 하삼각 행렬

$n \times n$ 행렬 $A = [a_{ij}]$가 하삼각 행렬이란 것은

즉, **대각선 위쪽(오른쪽 위)**은 모두 0이라는 뜻입니다.

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🔍 목표

하삼각 행렬 $L_1, L_2 \in \mathbb{R}^{n \times n}$의 곱 $L = L_1 L_2$ 도 하삼각 행렬임을 보이고, 이를 일반화하여

도 하삼각임을 보일 것입니다.

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🔧 두 개의 하삼각 행렬 곱 $L = L_1 L_2$ 분석

곱 $L = L_1 L_2$의 $(i,j)$ 원소는 정의에 의해 다음과 같습니다:

우리는 이 $l_{ij} = 0$임을 보이고 싶습니다. 단, $i < j$일 때.

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🚩 핵심 아이디어

• $L_1$은 하삼각이므로 $(L_1)_{ik} = 0$ if $i < k$
• $L_2$도 하삼각이므로 $(L_2)_{kj} = 0$ if $k < j$

따라서 $(L_1)_{ik} \cdot (L_2)_{kj} \neq 0$이 되려면
동시에 $i \ge k$ 이고 $k \ge j$ 여야 하므로:

그런데 우리는 $i < j$인 경우를 보고 있으므로, 위 조건을 만족하는 $k$는 없음.
즉,

따라서 $L = L_1 L_2$도 하삼각 행렬이다.

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📐 귀납적 일반화

위 결과를 기반으로 귀납법으로 일반화 가능:

• 기저: $L_1, L_2$의 곱은 하삼각
• 귀납 가정: $L_1 L_2 \cdots L_{k-1}$은 하삼각
• 귀납 단계:
  $L_k$도 하삼각이므로
  $L_k (L_1 \cdots L_{k-1})$ = 하삼각 × 하삼각 = 하삼각

따라서 임의의 개수의 하삼각 행렬의 곱은 하삼각 행렬.

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✅ 결론

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