정규분포

(작성예정)

Q-Q Plot

Q-QPlot 이란?

• N개의 $x$가 데이터로 주어졌을 때, 데이터 $x$를 Sampling한 출처 X는 표준정규분포를 따를까?
  • 눈으로 어림짐작하는 방법은 Q-Q Plot을 그려보는 것이다.

💡 Q-Q plot은 Quantile-Quantile Plot으로 X와 Z값을 이용한 scatter plot이다.

• 이때, X는 데이터로 부터 추정한 분포를 따르는 확률변수이고,
• Z는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.
• Q-Q plot은 Quantile, 즉 누적확률에 대한 논의이므로 우상향한다.

INTRO: 데이터 x, y와 Scatter Plot

• 데이터 x, y의 scatter plot을 생각해보자.
• (x, y)는 하나의 index로 묶인다: index(x, y)
• 그렇다면 (x, z)는 하나의 무엇으로 묶일까? 바로 k of q-quantile이다.
  • quantile은 the k-th q-quantile과 같은 양식으로 쓰인다. 예를 들어 50th 100quantile은 100개 자료중 50번째 값으로, 중위수를 가리킨다.

PRACTICE

그렇다면 실제로 그려보자.

• 아래 그림에서 y축은 확률변수 X의 값을 나타내고 x축은 확률변수 Z의 값을 나타낸다.
• 절차
  1. 데이터로 부터 확률변수의 분포 추정
     • 우리에게 데이터 $x$가 주어지면 커널밀도추정 등을 활용해 X의 분포를 부드럽게 추정할 수 있다.
     • 이에 따라 추정한 분포에서 주어진 데이터 포인트 $x_{k}$이 k-th 100-quantile이라고 할 때 k를 계산할 수 있다. 이 k가 위에서 이야기한 (X, Z)를 묶어주는 기준이 된다.
  2. (X, Z) 점 그리기
     • 아래 그림에서 $x_{50}$이 k = 50을 갖는 100-quantile이라고 했을 때 이에 해당하는 Z의 quantile은 $z_{50}$ = 0 이 된다. 따라서 $k_{=50}(x_{50}, z_{50})$를 하나의 점으로 표현할 수 있다.
• 이 과정을 반복하면 우리는 해당 좌표평면에 데이터로 주어진 X의 모든 값을 점으로 표현할 수 있다.
  
  

INTERPRETATION

• 모든 점이 y = x 축 상에 놓인다면 X의 분포와 Z의 분포가 동일하다(즉, X는 표준정규분포를 따른다)는 것을 쉽게 이해할 수 있다.

• 하지만 y = x 축 상이 아닌 곳에 놓인 점은 어떻게 해석할 수 있을까?
  

• 이때 같은 X값에 대해서 해석하는 편이 더 이해하기 쉽다.

  • 점0 : X = -2의 분위수가 Z = -2.5의 분위수와 같다.
    • X=-2까지 쌓인 누적 데이터의 수가 Z=-2.5까지 쌓인 누적 데이터와 같다 : 정규분포
  • 점1 : X = -2의 분위수가 Z = -3 의 분위수와 같다.
    • X=-2까지 쌓인 누적 데이터의 수 < Z=-2.5까지 쌓인 누적 데이터 : 정규분포보다 왼쪽 꼬리에 데이터가 적어
  • 점2 : X = -2의 분위수가 Z = -1.5 의 분위수와 같다.
    • X=-2까지 쌓인 누적 데이터의 수 > Z=-2.5까지 쌓인 누적 데이터 : 정규분포보다 왼쪽 꼬리에 데이터가 많아
  • 점3 : X = -2.4의 분위수가 Z = -2.5 의 분위수와 같다.
    • Z=-2.5의 분위수와 같은 량의 데이터를 쌓으려면 X = -2.4 까지 와야 한다.
  • 점4 : X = -1.2의 분위수가 Z = -2.5 의 분위수와 같다.
    - Z=-2.5의 분위수와 같은 량의 데이터를 쌓으려면 X = -1.2 까지 와야 한다.

    X값 기준으로 점이 우측으로 이동하면서 Z의 확률분포 기준 데이터가 쌓인 분량을 보여준다. 예를 들어 X=-2에서 점1에서는 X=-2까지 쌓인 데이터의 분량이 Z의 3% 만큼의 데이터 였는데, 점2에서는 15% 만큼의 데이터를 갖는다는 식으로 해석할 수 있다.

• 그럼 아래의 그림을 보면서 위 개념을 한번 스스로 이해해보자.

끝.