SE(3) 행렬의 구조에 대해 설명해주세요.

SE(3)

어제 설명한 SO(3)에 이어 SE(3) 군을 설명해드리겠습니다.
SE(3) 군은 Lie 군 중 하나인 Special Euclidean 3 군의 준말입니다.
이 군은 3차원 공간 상에서 강체의 변환과 관련된 행렬과 이에 닫혀있는 연산들로 구성된 군을 의미합니다.
쉽게 설명하자면 rotation과 translation 변환을 한번에 나타내는 연산이라고 생각하시면 쉽습니다.

SE(3) = { ${ T = \begin{pmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in R^{4\times 4}|R\in SO(3), t \in R^3}$ }

SE(3)의 특징

• Associativity: ($T_1\bullet T_2$)$\bullet T_3$=$T_1 \bullet (T_2 \bullet T_3)$ => 결합 법칙이 성립합니다.

• Identity element: $T \bullet I = I \bullet T = T$ => 이것을 만족하는 4x4 항등 행렬 I가 존재합니다.

• Inverse: $T^{-1}\bullet T = T \bullet T^{-1} = I$ => 이것을 만족하는 역행렬이 존재합니다.
  $T^{-1} = \begin{pmatrix} R^T & - R^Tt \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

• Compostion: SE(3)군의 합성은 아래와 같이 행렬의 곱셈 연산으로 수행합니다.
  $T_1\bullet T_2 = \begin{pmatrix} R_1 & t_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} R_2 & t_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} R_1R_2 & R_1t_2+t_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in SE(3)$

• Non-communtative: $T_1 \bullet T_2 \neq T_2 \bullet T_1$ => 교환법칙은 성립하지 않습니다.

• Transformation: $P^3$ 공간 상의 점 또는 벡터 $X = [X Y Z W]^T \in P^3$를 다른 방향과 위치를 가지는 점 또는 벡터 $X'$로 변환할 수 있습니다.

0 과 1의 의미

SE(3)는 회전과 병진을 동시에 나타내기 위해 homogeneous coordinates를 사용합니다.
이것을 사용하게 되면 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}$ 좌표에 4x4 행렬을 사용해 모든 변환을 하나의 행렬 연산으로 처리할 수 있게 됩니다.
이는 변환을 연속적으로 적용할 때 매우 편리합니다.

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그래도 오늘은 양이 좀 적네요 아싸