참고:
https://blog.naver.com/woohundred/222558576479
https://blog.naver.com/chartist/222459006719
https://blog.naver.com/apple13254/222404193902
https://www.altii.de/blog/using-ai-to-establish-a-reliable-and-objective-way-of-diversification/
1952년, 현대 포트폴리오 이론(MPT)로 포트폴리오 가중치를 선택해 분산 투자를 최적화하는 수학적 도구가 탄생했다.
MPT를 요약하면, 여러 자산들간의 공분산 행렬을 이용해, 가장 효율적인 포트폴리오 투자 선을 만들어 낼 수 있다는 것이다. 즉, 동일 수익률을 주는 여러 포트폴리오 중에서 가장 낮은 분산을 가진 것들의 집합이다. 이중에서 특히 최소분산(GMV, global minimum variance) 포트폴리오 같은 것들이 존재한다.
요즘에야 컴퓨터가 이를 계산하지만, 그때는 불가능한 일이었다.
그다음에 나온 것은 샤프모형(1961)이다. 증권 특성선(Security Character Line, SCL)라고 불리는 모형으로, 식은 Rj = bj*Rm+aj+ej 에서 ej를 0으로 만든 것이다.
오로지 개별 주식의 위험 프리미엄과 시장 포트폴리오의 위험프리미엄만을 이용한 식으로, 비교적 계산이 가능해 지게 되었다. 회귀 분석을 바탕으로 식을 만드므로, 잔차를 0으로 만들도록 되어 있어 단일 시장만이 영향을 준다는 모델이 만들어진다.
다만 위 식에서 분산을 구해보면, 위험이 두 항목, 체계적 위험과 비체계적 위험으로 나오게 되므로 비체계적 위험이 식에 반영은 되어 있다.
위 두개를 결합해서 그림을 그려보면, 이론이 위험자산만 있다는 것을 가정하므로 곡선이 하나 만들어지게 된다.
여기서 한 단계 나아가 무위험 자산을 도입하면 CAPM(capital asset pricing model)이 생겨난다. 무위험 자산의 수익률에서 곡선까지의 접선을 그려보면, 가장 샤프비율이 높은 포트폴리오가 선택되고, 이 이론에 따르면 모든 투자자는 위험 선호에 따라 무위험 수익률과 그 포트폴리오 사이의 배분만 달리할 뿐 모두가 동일한 포트폴리오를 선택하게 된다.
이 이론 이후 'CAPM이 성립한다' 라는 말은 온갖 전제를 모두 반영한 것이 된다.
CML은 여러 CAL중 가장 기울기가 큰 직선이다. 이때 M을 구하는 방법은 두 가지라고 하는데, 첫째는 미분식을 통해 구성비율을 구하는 것과, 위험에 대한 보상비율을 모두 동일하게 만드는 두 가지 방법이다.
SML과 CML은 비슷하지만, 중요한 차이가 하나 있는데, SML은 비효율적인 자산이 포함될 수 있다는 것이다. 따라서 비체계적 위험이 해소되지 않은 상태이므로, CML과 일치하지 않게 된다. SML중에서 시장포트폴리오와 상관관계가 1인 특수 경우가 CML이 된다고 생각하면 된다.
당연히, CAPM은 상당한 한계를 갖는다. 당장 지금 미국 국채 금리가 올라가 수익률이 높아진다는 것만 봐도 알 수 있다. 블랙 교수는, 시장 포트폴리오 대신 제로 베타를 이용하는 방법을 제안했는데, SML보다 항상 아래에 위치하게 된다는 단점이 있다.
CAPM이 현실적으로 한계가 있는건, 비대칭 정보, 이자율의 불일치, 세금, 거래비용 등등을 전혀 고려하지 않는다. 따라서 실제 시장포트폴리오를 이용한 검증이 완전히 불가능하다.
만일 CAPM이 실제로 성립했다면 식에서 알파는 0이어야 하지만, 대부분 그렇지 않게 나오는 것을 알 수 있다.
시장 포트폴리오라는 개념을 해결하기 위한 것이 APT(Arbitrage Price Theory, 차익거래가격결정모형)이다. 시장포트폴리오와만의 선형 함수가 아니라, 다수의 공통요인고아의 선형 함수로 표시된다는 것으로 나타낸 것이다.
즉, 다수의 factor를 이용해 다중회귀분석을 하는 것이며, 이 요인들에 대한 위험프리미엄으로 자산의 가격을 결정할 수 있다는 것이다.
요인이 훨씬 다양하기 때문에 설명력이 높지만, 요인이 여러 변수의 묶음이며, 몇 개를 써야 하는지 등에 대한 한계가 있기는 하다.
포트폴리오 이론을 실제 파이썬으로 구현하면 발생하게 되는 여러 문제들이 있는데, 그중 대표적인 것인 공분산과 관련된 문제이다.
Markowitz curse(마코위츠 저주) 는, 최적화가 특히 분산된 포트폴리오를 찾으려 노력할 수록 실패한다는 것으로, 조건수(자산간의 상관계수를 이용한 지표)가 높을 때 발생한다. 여러 이유로 발생하는데, 한 가지 이유가 공분산 행렬의 역행렬을 구할 때, 계산 오류가 생기고 이게 누적되어 큰 차이를 낸다는 것이다. 결과물을 실제로 확인해 보면, 특정 자산에만 높은 비중으로 투자하고 나머지에는 전혀 투자하지 않는 식의 결과를 자주 볼 수 있다.
이를 해결하기 위한 대안도 몇가지 존재한다. 첫째는 가장 단순한, 1/n 포트폴리오를 쓰는 것이다. 특히 추정 오차의 높은 비용에 의해 이런 결과가 난다고 한다.
두번째는 최소분산 포트폴리오를 사용하는 것이다. 가장 리스크가 작은 것을 쓰는 것이다.
마지막은 블랙-리터만 방식이다. 블랙-리터만 포트폴리오는 시장 전체는 평균-분산 포트폴리오라는 가정하에서, 시가 총액은 시장에서 부여된 가중치라고 간주한다. 이 가중치는 시장가격을 반영해 미래의 시장 기대를 반영한다고 해석해, 미래의 기대 수익률을 역공학할 수 있다. 이렇게 나온 추정치에 투자자 자신의 기대치를 반영해 새로 포트폴리오를 생성해 내는 것이 블랙-리터만 방식이다. 이를 일종의 베이지안 모델로도 볼 수 있다.
