문제
외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.
1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.
각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.
N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.
항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.
출력
첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.
import sys
def go(now, trace): # now는 현재 경유지 번호/ trace는 현재까지 경유지 집합(현재 포함)
if dp[now][trace]: # dp[now][trace]이 있다면, 해당 값 리턴해주기(중복 체크 방지)
return dp[now][trace]
# 기저 조건
if trace == (1 << N)-1:
# 1을 N만큼 이동 후 -1 해주기 --> 1이 N개만큼 있음 --> (V0부터 Vn-1까지 모두 거쳤다는 의미. V0으로 복귀만 남은 상태)를 의미
return path[now][0] if path[now][0] > 0 else MAX
# 현재 경로에서 0으로 가는 비용이 있으면 해당 값 리턴, 없으면 max값으로 설정
# 각 상태에서 구해야하는 값
cost = MAX
for i in range(1, N):
if not trace & (1 << i) and path[now][i]:
# trace(현재까지 경유지 집합)에 i가 없고, now에서 i로 가는 비용이 0이 아닐 때(갈 수 있는 경로일 때)
# 즉, 도시 i가 trace에 없고, 갈 수 있는 경로일 때
val = go(i, trace | (1 << i)) # 현재위치는 i로 설정, 현재까지 경유지 집합에 i도시를 포함
cost = min(cost, val+path[now][i])
# cost값과 val+path[now][i] 중 최솟값
# val은 0에서 trace라는 경로를 거쳐 now까지 왔을 때, 최소 비용
# path[now][i]는 now에서 i로 이동한 비용
# dp에 값 갱신
dp[now][trace] = cost # 현재위치에서, 현재를 포함한 경유지까지 이동하는 최소 비용 cost 값을 dp[now][trace]에 넣기
return dp[now][trace]
N = int(input())
path = [list(map(int, input().split())) for _ in range(N)]
dp = [[0] * (1 << N) for _ in range(N)]
# print(dp) # N을 2진수로 변환하면 2^N 이니깐, 2^4 = 16
MAX = sys.maxsize
print(go(0, 1)) # go(0, 1) = go(0, {1})
# 0 위치에서 시작, 1을 0만큼 이동한 상태