12강 - 이산, 연속, 균등분포

MostlyFor·2023년 1월 9일

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해당 내용은 아래 강좌를 정리한 내용입니다.
https://www.edwith.org/ai152

학습목표

이산확률변수와 연속확률변수의 PMF/PDF, 누적분포함수, 기댓값과 분산을 구할 수 있다.

핵심키워드

PDF : 확률 밀도 함수

확률밀도의 의미란?

x축 길이당 확률임. 따라서 x축 길이를 곱하면 확률이 나옴.

다시 말해 확률과는 차원이 다름 한 차원 아래임.

확률밀도함수를 적분하여 확률을 구할 수 있다.

CDF를 미분하면 PDF가 나온다. (미적분학 기본 정리)

연속확률변수에서의 기댓값

E(X)=\int xf_X(x)dx

분산의 의미 : 분포가 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지

분산에서 절댓값을 피하는 이유는 v자 함수가 나오고 이는 미분 가능하지 않기 때문임. 그래서 제곱을 선택함.

제곱으로 분산을 계산함으로써 최초의 단위가 변경됨. 이를 해결하기 위해서 제곱근을 씌운 표준편차라는 개념이 채택됨.

V(X)=E(X-E(X))^2\\ V(X)=E(X^2)-E(X)^2\\ SD(X)=\sqrt {V(X)}

연속분포의 종류

균등분포는 확률변수의 범위와 확률이 비례하는 분포임. 예를 들어, [a,b] 구간의 확률과 [2a,a+b] 확률이 같은 경우임. 직관적으로는 모든 확률이 동등한 경우

pdf

f(x)=\frac{1}{b-a} ~~~~ a<x<b

cdf

F(x)=\int_{-\infin}^x f(t)dt= \begin{cases} 0 & x<a\\ \frac{x-a}{b-a} & a<x<b \\ 1 & x>b \end{cases}

expactation

E(X)=\frac{b-a}{2}

Variance

균등 분포의 보편성(univerality of the Uniform):

균등 분포만 있으면 어떠한 분포도 만들어 낼 수 있음을 의미