3. 선형독립과 선형종속

본 게시글은 주재걸 교수님의 인공지능을 위한 선형대수 강의를 듣고 정리한 내용입니다.
강의 출처 :
https://www.boostcourse.org/ai251/joinLectures/195088

Notation

Scalar : 소문자
Vector : 굵은 소문자 (기본 형태가 column vector)
Matrix : 대문자

핵심 정리

• $\bold a_1 x_1 + \bold a_2 x_2 +\bold a_3 x_3 = \bold b$
  위 vector equation에서 벡터 b가 재료 벡터 a1 a2 a3가 만드는 span 안에 속하면 해는 존재한다.
  이때 해는 유일할까?
  -> 재료 벡터들끼리 선형독립관계라면 유일, 그렇지 않다면 무수히 많다.

선형독립과 선형종속

vector의 집합 {v1,v2,v3,...,vp}에서 vector를 하나씩 가져오면서 span을 만들고자 할 때 span이 확장된다면 이는 선형독립관계이다.

-> 즉, 기존의 벡터 v1,v2로 v3를 만들 수 있다면 선형종속관계라고 할 수 있다.

❓ 만약 3차원 상에서 4개의 벡터가 주어지면 이 관계는 선형독립이 될 수 있을까?

답은 선형독립이 될 수 없고 항상 선형종속이다.
만약 3개의 벡터 v1,v2,v3가 서로 선형독립이라고 하면 그 벡터들이 만드는 span은 3차원 공간 전체가 된다. 따라서 3개의 벡터가 v4를 표현할 수 있으므로 선형 종속이 된다.

선형종속의 의미

선형종속이라 함은 재료 벡터들의 조합으로 재료 벡터 안에 있는 하나의 벡터를 표현할 수 있음을 의미한다.

예를 들어, 3개의 재료 벡터 v1, v2, v3가 있다고 하자.
v1, v2 벡터를 이용하여 v3 벡터를 표현할 수 있을 때 우리는 span을 확장할 수 없다.

하나의 벡터를 다른 벡터들의 선형결합으로 표현할 수 있다는 말은 해가 하나라도 존재한다면 해가 무수히 많다는 것과 동일하다.

$x_1\bold v_1+x_2\bold v_2+x_3\bold v_3 = \bold b$라는 선형 시스템이 있다고 하자. 이때 해가 (3,2,1)로 하나 존재한다.

만약, $3\bold v_1+2\bold v_2+1\bold v_3 = \bold b$가 성립하고 v1, v2, v3가 선형종속이라면 위 방정식의 해는 무수히 많다.

-> 선형 종속이라는 뜻은 $\bold v3 = a \bold v1 + b\bold v2$를 만족시키는 a,b가 존재한다는 뜻이다. 다시 쓰면 풀어 쓰면 $-\bold v3 + a \bold v1 + b\bold v2 = 0$이 되고 위 식을 k배 해서 $3\bold v_1+2\bold v_2+1\bold v_3 = \bold b$에 더해도 우변은 $\bold b$이므로 해는 무수히 많다.