원 그리기

원 그리기는 개쉬움 그냥 밥임
구의 방정식이라고 있음

구의 방정식

임의의 점 (x,y,z)가 있다고 가정 ㄱㄱ

$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$

이걸 사용하면 구 내부를 색칠놀이 할 수 있음

$x^2 + y^2 + z^2 < r^2$ 이면 x,y,z에 해당되는 점이 구 내부에 존재하는거임

$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ 이면 x,y,z에 해당되는 점이 구 표면에 존재하는거임

$x^2 + y^2 + z^2 > r^2$ 이면 x,y,z,에 해당되는 점이 구 외부에 존재하는거임

그러니까 구 표면 || 내부에 존재하는 점(픽셀, 좌표)만 원하는 색으로 색칠놀이 하면 되는거임

이때 구의 방정식은 구의 중앙이 원점 (0,0,0)에 있다고 가정할때의 방정식임.

즉, 임의의 점 $C$에서 구의 방정식을 구하면 다음과 같음

$(Cx−x)^2+(Cy−y)^2+(Cz−z)^2=r^2$

$C$의 각 좌표에서 $x,y,z$를 빼면 해당 방향으로의 길이 벡터가 나옴

각 길이들을 제곱했을때
$= r^2$이면 구 표면,
$< r^2$ 이면 구 내부,
$> r^2$이면 구 외부의 점

이 되는거지 ㅇㅇ

이때 $(x,y,z)$를 점 $P$라고 하면,

$(Cx−x)^2+(Cy−y)^2+(Cz−z)^2 = (C-P) \cdot (C-P)$와 같음

이유는 내적 공식임
내적은 두 벡터의 각 요소를 서로 곱해서 더한 값임
두 벡터를 $X$, $Y$라고 해보자
그럼 내적은
$X_x * Y_x + X_y * Y_y + X_z * Y_z$가 됨

$(C-P) \cdot (C-P) =$
$(C_x - P_x) * (C_x - P_x)... =$
$(Cx−x)^2+(Cy−y)^2+(Cz−z)^2$
임

이때, $(C-P) \cdot (C-P)$는 다시 아래 식처럼 표현할 수 있음

핵심 아이디어는 다음과 같음

점 $P$는 이제부터 없고, 점 $P$대신 Ray $P(t)$가 존재함
이유는 Ray가 지나간 자리에서 원과 충돌이 생기는 지점만 색을 칠하면 되기 때문임

즉, $P(t)$는 광선의 시작점($Q$)에서부터 스칼라 값 $t$만큼 $d$방향으로 이동한 좌표임
$P(t) = Q + td$

따라서

$(C-P) \cdot (C-P) = (C - (Q + td)) \cdot (C - Q + td))$

처럼 표현가능

이항정리를 해보자

$(C - (Q + td)) \cdot (C - Q + td)) =$
$(-td + (C - Q)) \cdot (-td + (C - Q))$

처럼 표현가능함

$(-td + (C - Q)) \cdot (-td + (C - Q))$

이 식을 거시적으로 봐보센

뭐가보임?

$-td = A$
$C - Q = B$

라고 보면

$(A + B) \cdot (A + B)$ 가됨

위 식을 풀어보면

$(A + B) \cdot (A + B) = A \cdot A + A \cdot B + B \cdot A + B \cdot B$ 가 됨.

이때 $A = -td$이고, $B = C - Q$임
내적은 교환법칙이 성립하므로 $A \cdot B = B \cdot A$ 임

즉, $A \cdot A + 2 (A \cdot B)+ B \cdot B$ 임!

항을 풀어서 정리를 해보자

$(-td + (C - Q)) \cdot (-td + (C - Q)) =$
$(A + B) \cdot (A + B) =$
$(-td) \cdot (-td) + 2(-td \cdot (C - Q)) + (C - Q) \cdot (C - Q)$

가 됨

$t$는 스칼라 값으로,
스칼라 값들의 내적은 스칼라 값을 그냥 곱한것과 같음

즉, 위의 식을 한번 더 풀어서 원 표면과 함께 식 정리를 하면

$t^2(d \cdot d) -2td \cdot(C - Q) + (C - Q ) \cdot (C - Q) = r^2$

이 됨

뭔가 익숙하지않음?
이차방정식이 막 근질근질 하지 않음?

$r^2$을 좌항으로 넘기면 $ax^2 + bx + c = 0$꼴의 이차방정식이 됨

$t^2(d \cdot d) -2td \cdot(C - Q) + (C - Q ) \cdot (C - Q) - r^2 = 0$이 되는거고,

이걸 다시 정리하면

$[d \cdot d] t^2 + [-2d \cdot(C - Q)]t + [(C - Q ) \cdot (C - Q) - r^2] = 0$

형태인 이차방정식이 됨!! ㅁㅊㅁㅊ!!

$ax^2$에서 $a = [d \cdot d]$가 되고
$bx$에서 $b = [-2d \cdot(C - Q)]$가 되고
$c$에서 $c = [(C - Q ) \cdot (C - Q) - r^2]$가 되는거임

근의 공식

$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

이라는 공식 알고있지?

여기서 판별식이 존재함
$b^2 - 4ac$가 판별식임

이 판별식에 따라서
판별식 값이 음수 = 근이 없음 = 구 외부를 지남
판별식 값이 같음 = 근은 1개 = 구 표면(접점)을 지남
판별식 값이 양수 = 근이 2개 = 구 내부를 지남

이렇게 ray에 대하여 구의 어느부분을 지나는지 판별하게 되는거임

코드 구현

$a = [d \cdot d]$
$b = [-2d \cdot(C - Q)]$
$c = [(C - Q ) \cdot (C - Q) - r^2]$

를 기억하자

bool hit_sphere(const Point3& center, double radius, const Ray& r)
{
    Vector3 oc = center - r.origin();
    double a = dot(r.direction(), r.direction());
    double b = -2.0 * dot(r.direction(), oc);
    double c = dot(oc, oc) - radius * radius;
    double discriminant = b * b - 4 * a * c;

    return discriminant >= 0;
}

Color ray_color(const Ray& r)
{
    if (hit_sphere(Point3(0.2, 0.2, -1), 0.5, r))
    {
        return Color(1, 1, 0);
    }
    
    ...
}

여기서 Point3(0.2, 0.2, -1)는 원 중심의 좌표임

판별식에 따라 0보다 크거나 같으면 원 표면 혹은 원 내부를 지난다는 의미이므로, 해당 점을 다른색으로 칠해준다.

이때 z축이 -1인 이유는 다음과 같음

오른손 좌표계를 우리는 사용중임
y는 화면 위, x는 화면 오른쪽, z는 화면에서 내 눈 방향임

즉, 우리 눈이 z축으로 양수값에 위치하게 되는거임
근데 원의 z축이 양수가 되면?
우리가 반대로 구를 보게 된다는거임!

따라서 좌표값에 반대 값으로 반전이 생긴것처럼 보이게 된다는거임

• z = 1일때
  

• z = -1일때
  

구가 약간 삐뚫어진 이유는
카메라에서 바라본 각도이기 때문에, 시야각에 따라 삐뚫어진거임