4/9 파이썬 수학 알고리즘

알고리즘 문제를 풀며 생각보다 수학적 지식이 필요한 문제가 많다고 생각했습니다
오늘은 대표적인 수학적 지식이 필요한 알고리즘을 공부하며 문제를 풀어보았습니다

최대공약수, 최소공배수

최대공약수

def solution(a, b):
    min_num = a if a < b else b
    for i in range(min_num, 0, -1):
        if a % i == 0 and b % i == 0:
            answer = i
            break
    return answer

최소공배수

1.
def solution(a, b):
    max_num = a if a > b else b
    for i in range(max_num, a * b + 1):
        if i % a == 0 and i % b == 0:
            answer = i
            break
    return print(answer)

2.
def solution(a, b):
    min_num = a if a < b else b
    for i in range(1, min_num + 1):
        if not (a * i) % b:
            answer = a * i
            break
    return print(answer)

거듭제곱근 구하기

16의 거듭제곱근은 (2 이상): 2 4, 4 2.
이때 제곱근 구하는 식
n ** (1.00 / 실수형 숫자)
실수형: float(숫자)
n = int(input())

for i in range(2, n + 1):
    if not n ** (1.00 / float(i)) % 2:
        print(int(n ** (1.00 / float(i))), i)

약수의 개수 판별하기

if int(n ** 0.5) == n ** 0.5:
	print('약수의 개수가 홀수 입니다')
else:
	print('약수의 개수가 짝수 입니다')
: 제곱수이면, 약수의 개수는 홀수이다.

소수 구하기

소수 판별하기

기본적인 방법
def is_prime_num(n):
    for i in range(2, n):
        if n % i == 0:
            return False # 소수가 아님
    return True # 소수

조금 더 빠른 방법: 약수 이용하기

아이디어: 어떤 수의 제곱근을 기준으로 약수들이 서로 대칭됨을 이용하자.
제곱근의 왼쪽에 약수가 없다면, 오른쪽에도 없을 것이다.

def is_prime_num(n):
    for i in range(2, int(n**(1/2))+1): # n의 제곱근(정수화함) + 1 범위까지
        if n % i == 0:
            return False # 소수가 아님
    return True # 소수

특정 숫자까지의 수 중에서 소수 구하기

소요 시간 비교해보기

1. 이중 for문

n = int(input())
prime_num = []

for i in range(2, n + 1):
    prime = True
    for j in range(2, i):
        if i % j == 0:
            prime = False
            break
    if prime:
        prime_num.append(i)

print(prime_num)

2. 에라토스테네스의 체 (훨씬 빠름!)

2 ~ N까지의 범위가 담긴 배열을 만든다.
해당 배열 내의 가장 작은 수 i 부터 시작하여, i의 배수들을 해당 배열에서 지워준다. (i는 소수이기 때문에 i자체는 지우지 않는다.)
주어진 범위 내에서 i의 배수가 모두 지워지면 i 다음으로 작은 수의 배수를 같은 방식으로 배열에서 지워준다.
더 이상 반복할 수 없을 때까지 2, 3번의 과정을 반복해준다.

1. 배수가 아닌 수를 리스트에 추가하며..: 더 비효율적인가? 시간 체크하기!

prime_num = list(range(2, n + 1))
n_cnt_all = [] # 소수가 아닌 수를 담을 list

for num in range(2, n + 1):
    if not num in n_cnt_all: 
        n_cnt = [] # 초기화
        
        for cnt in range(2, n + 1):
            num_cnt = num * cnt # 배수 찾기
            
            if num_cnt in prime_num:
                n_cnt.append(num_cnt)
                
        n_cnt_all.append(n_cnt)
        # 배수인 수를 제외한 수만 담음
        prime_num = [i for i in prime_num if i not in n_cnt]
      
print(prime_num)'

중복 계산을 피하기 위해 if num_cnt in prime_num: 추가

2. 특정 수가 지워졌는지 확인하며..(좀 더 효율적)

def is_prime_num(n):
    arr = [True] * (n + 1) # 특정 수가 지워졌는지 아닌지 확인하기 위한 배열
    arr[0], arr[1] = False, False

    for i in range(2, n + 1):
        if arr[i] == True: # 특정 수가 지워지지 않았다면 (소수여서)
            j = 2

            while (i * j) <= n:
                arr[i*j] = False # i의 배수의 값을 False로 지워준다.
                j += 1

    return arr

prime_num = []

arr = is_prime_num(100) # 0 ~ 50중 소수를 구하기 위한 함수

for i in range(len(arr)):
    if arr[i] == True:
        prime_num.append(i)
print(prime_num)

출처: 소수판별 알고리즘 - 파이썬 (Python)
가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS)
오름차순 일 때

arr 5 20 10 40 30 50 60
dp 1 2 2 3 3 4 5

정렬하면

arr 5 10 20 30 40 50 60

내림차순 일 때

arr 60 50 30 10 40 20 5 70
dp 1 2 3 2 3 4 5 1

정렬하면

arr 70 60 50 40 30 20 10 5

응용 문제 :

문제 링크

골드바흐의 추측 - 9020

성능 요약
메모리: 31256 KB, 시간: 620 ms

분류
수학, 정수론, 소수 판정, 에라토스테네스의 체

문제 설명
1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.
골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.
2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.

입력
첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다.

출력
각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다. 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다.

def prime(n):
    if n == 1:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

t = int(input())
for _ in range(t):
    num = int(input())
    num1 = num // 2
    num2 = num // 2
    while True:
        if num1 == 0:
            break
        if prime(num1) and prime(num2):
            print(num1, num2)
            break
        else:
            num1 -= 1
            num2 += 1코드를 입력하세요

문제 링크

달팽이는 올라가고 싶다 - 2869

성능 요약
메모리: 33376KB, 시간: 44ms

분류
수학

문제 설명
땅 위에 있다가 있다. 이 부분은 높이가 V미터인 나무 막대를 배관해야 합니다.
오후는 낮에 A미터가 될 수 있다. 하지만, 밤에 잠을 자는 동안 B미터가 작아진다. 또, 정상에 가까워지면 나중에는 지지 않는다.
건전지가 나무 막대를 모두 보이게 하려면, 배수가 펴지 구하는 프로그램을 작성하시오.
엔터
항상 줄에 세 정수 A, B, V가 공백으로 구분하여 주어다. (1 ≤ B < A ≤ V ≤ 1,000,000,000)
최고
지속적으로 늘어놓을 때마다 나무를 모두 놓았는데요.

import math

a, b, v = map(int, input().split())

day = (v-b)/(a-b)
print(math.ceil(day))