Direct Product(벡터공간의 곱)

$V_1, \cdots , V_n$이 field $F$위에서의 벡터공간일 때,

으로 정의합시다. 이 때 $V$에서의 덧셈과 스칼라 곱을 elementwise하게 정의한다면 $V$는 field $F$에서의 벡터공간이 되고 벡터공간 $V$를 $V_1, \cdots V_n$들의 direct product라고 부릅니다.

부분공간

선형대수에서 $W$가 어떤 field(체) $F$위에서 정의된 벡터공간 $V$의 부분공간이라는 것은 $V$의 부분집합이면서(공집합이 아닌) $W$가 체 $F$위에서의 벡터공간일 때를 의미합니다.

부분 공간의 성질

(1) Zero space와 자기 자신은 항상 부분공간이 되며 그렇기 때문에 이를 trivial subspace라고 부릅니다
(2) 어떤 벡터 공간의 한 원소에 스칼라배한 벡터들의 집합은 그 벡터공간의 부분공간입니다.
(3) $F$를 field 라고 할 때, $F^{n}$은 벡터 공간이고 $n$이하의 양의 정수 $k$에 대하여 $F^{k}$의 원소를 $n$차원으로 0으로 padding하여 얻은 벡터들로 이루어진 벡터공간은 $F^{n}$의 부분공간이 됩니다.
(4) 어떤 벡터공간 $V$의 부분공간들의 finite 혹은 infinite intersection은 $V$의 부분공간 입니다. (부분공간을 계속 교집합해도 항상 부분공간이 된다)

부분공간들의 합

$V$를 field $F$위에서의 벡터공간이라고 합시다. $\mathcal{U}_1, \cdots \mathcal{U}_k$을 $V$의 유한개의 부분공간이라고 할 때, 이들의 합을 다음과 같이 정의합니다.

이들은 $V$의 부분공간이 되며(쉽게 확인해볼 수 있음)

는 surjective map입니다.

Direct sum

지금 까지 배운 것을 바탕으로 다음과 같은 3개의 문장이 동치라는 것을 보일 수 있습니다.

(1) $\phi$는 bijective 합니다.(일대일 대응입니다.)
(2) $\mathcal{U}_1 + \cdots + \mathcal{U}_k$의 모든 벡터들은 각각의 $\mathcal{U}_i$의 벡터들의 합으로 유일하게 표현됩니다. 이 말을 풀어서 설명하면 만약 $\bold{u} \in \mathcal{U}_1 + \cdots + \mathcal{U}_k$라면 $\bold{u} = \bold{u}_1 + \cdots + \bold{u}_k$인 $\bold{u}_1 \in \mathcal{U}_1, \cdots, \bold{u}_k \in \mathcal{U}_k$가 유일하게 존재한다는 것입니다.
(3) 모든 $1 \leq i \leq k$에 대하여 $\mathcal{U}_i \cap \left( \sum_{j \neq i}\mathcal{U}_j \right) = \bold{0}$입니다.

(1)이 성립하면서 $V = \mathcal{U}_1 + \cdots + \mathcal{U}_K$일 때,

라고 표기하고 $V$가 $\mathcal{U}_1, \cdots, \mathcal{U}_k$들의 direct sum이라고 말합니다.

추가설명

(1), (2)가 동치인 것은 사실 어찌 보면 당연합니다. (1)의 bijectiveness를 풀어쓴게 (2)이기 때문입니다. (3)의 의미는 $V$를 $k$개의 부분공간 중 하나라도 빼먹는다면 각각의 부분공간의 합으로 $V$를 나타낼 수 없다는 의미가 됩니다. 왜냐하면 하나를 빼먹은 합의 부분공간과 빼먹은 공간의 교집합이 zero space이기 때문에 하나를 빼먹은 합공간의 원소로 표현할수 없는 $V$의 원소가 존재한다는 것을 의미하기 때문입니다.

Complement(여공간)

$V$를 field $F$위에서의 벡터공간이라고 하고 $\mathcal{U}$를 $V$의 부분공간이라고 합시다. 다음을 만족시키는 $V$의 부분공간 $W$가 존재하면 $W$를 $\mathcal{U}$의 부분공간 이라고 합니다.

즉 어떤 벡터공간을 두 벡터공간의 unique한 합으로 표현이 가능하다면 이들은 서로 complement관 계라고 말할수 있습니다.