선형변환이란?

선형대수학에서 선형변환(Linear transformation)은 두 개의 벡터 공간에 대하여 선형성(linearity)를 만족하는 함수를 의미합니다. 여기서 선형성이란 어떤 함수 $T(u+av) = T(u)+aT(v)$를 만족하는 함수를 의미합니다.

여러가지 선형변환의 예시

$F$가 field이고, $V, W$가 벡터공간이라고 할때 다음의 변환들은 전부 선형변환입니다.

(1) zero map $\bold{0} = \bold{0}_{V \rightarrow W} : V \rightarrow W, \bold{v} \mapsto \bold{0}_{W}$
(2) identity map $I = I_{V} : V \rightarrow V, \bold{v} \mapsto \bold{v}$
(3) derivation map $D : F \left [ x\right] \rightarrow F \left [x \right], a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n} \mapsto a_{1} + 2a_{2}x + \cdots + n a_{n}x^{n-1}$
(4) $W \subseteq V$가 부분공간일 때, inclusion map은, $\iota : W \hookrightarrow V, \bold{w} \mapsto \bold{w}$ injective 한 linear map 입니다.
(5) $V = X \oplus Y$이라면 $\bold{v} \in V$에 대하여 unique한 $\bold{v} = \bold{x} + \bold{y}$인 $\bold{x} \in X, \bold{y} \in Y$를 찾을 수 있습니다. 이러한 $\bold{v}, \bold{x}, \bold{y}$에 대하여

를 projection map이라고 하고 선형변환입니다.
(6) $W$를 $V$의 부분공간이라고 할 때, $\bold{v}, \bold{u} \in V$가 $W$를 법으로 하여($W$의 관점에서) 합동(congruent) 이다는 것은 $\bold{u} - \bold{v} \in W$인 것이고 다음과 같이 표기합니다. (v is congruent to u modulo W 라고 읽습니다.)

"~와 합동이다"는 그렇기 때문에 동치관계가 된다. $\bold{v} \in V$에 대하여 coset of $\bold{v}$ modulo $W$라는 것은 $\bold{v}$의 equivalence class를 의미하며 다음과 같이 표기합니다.

그리고 modulo $W$인 모든 coset들의 집합(set of all cosets modulo W)를 다음과 같이 표기합니다.

$V/W$에서의 더하기와 스칼라 곱을 coset 표현법에서 왼쪽 원소에 대하여 elementwise하게 정의하면 well-defined이고 이 연산에 대하여 $V/W$는 벡터공간입니다. 이러한 벡터공간을 quotient space of $V$ modulo $W$라고 합니다. $V$에서 quotient space $V/W$로의 projection map

는 선형변환입니다.

선형변환과 basis

지금까지 배운 선형변환(linear map)은 두 벡터공간을 연결짓는 linear한 함수입니다. 그리고 벡터공간의 원소들은 basis의 원소들로 유일하게 표현이 가능합니다. 그렇다면 어떤 선형변환이 있을때, $V$에서 $W$로 가는 mapping을 표현하는데 $V$가 아니라 $V$의 basis로 충분하지 않을까요? 왜냐하면 어떤 벡터공간의 모든 원소는 basis의 linear combination으로 유일하게 표현되기 때문이죠. 위의 추측은 참이며 이를 수학적으로 나타내면 다음과 같습니다.

$V, W$를 field $F$위에서의 벡터공간이라고 합시다. 그리고 $B$를 $V$의 basis라고 한다면, $V$에서 $W$로 가는 선형변환들의 집합과 $B$에서 $W$로 가는 함수의 집합으로 가는 일대일 대응이 존재합니다. 즉 다음과 같은 일대일 대응 $\varphi$ 가 반드시 존재합니다.

$T$가 주어졌을때, $T\vert_{B}$는 $T$의 정의역을 제한시키면 되기 때문에 자명하게 선형변환을 찾으면 이에 대응되는 basis에서 출발하는 함수를 찾을 수 있습니다. 그럼 basis에 $W$로 가는 함수 $f$가 주어졌을 때 이에 대응되는 선형변환은 어떻게 찾을까요? 우선 우리가 찾아야 하는 선형변환은 $V$에서 출발하는 함수입니다. 그 말은 모든 $\bold{v} \in V$에 대하여 $W$의 원소로 가는 mapping을 찾으면 되고 이 mapping이 linear하면 됩니다. 그런데 $\bold{v} \in V$를 잡을 때 마다, basis의 원소를 이미 알고 있기 때문에 basis의 원소에 대한 linear combination을 구하는 것이 항상 가능해집니다. 즉 $B = \{ \bold{v}_1, \cdots, \bold{v}_n\}$이라고 한다면 $\bold{v} =a_1 \bold{v}_1 + \cdots + a_n \bold{v}_n$인 $a_1, \cdots, a_n$이 반드시 존재하고 $T: V \rightarrow W$를 $\bold{v} \mapsto a_1 f(\bold{v_1}) + \cdots + a_n f(\bold{v}_n)$이라고 한다면 $T$는 선형변환이 되고 계수들은 basis의 성질에 의해 $\bold{v}$의 선택에 대하여 유일하게 결정됩니다. 그러므로 위의 주장이 맞는 주장이 됩니다.