[2주차]인공지능 수학 - 20211214(2)

좌표계 변환

선형 시스템 문제를 벡터의 좌표계 변환으로 생각할 수 있다.

Ax = b가 있을 때,

• 행렬 = 좌표계
• 벡터 = 좌표값(행렬 A를 좌표계로 했을 때)
• 임의의 v는 다양한 좌표계에서 표현될 수 있다

기저벡터

기저벡터란, 좌표계를 구성하는 기준 벡터이다.

원점을 기준으로하는 표준 좌표계는 기저벡터가 다음과 같다.

• 항등 행렬 = 표준 좌표계

좌표계 변환

을 이용해서,

로 다른 좌표계의 좌표값을 구할 수 있다.

선형 변환

선형 함수

함수 f가 아래 두가지 조건을 만족하면 함수 f를 선형함수(linear function)이라고 한다.

• 선형 함수 : 그렸을 때 직선형으로 그려지는 함수

변환

• 함수의 입력이 n-벡터이고 출력이 m-벡터인 함수 T가 있을 때, 이를 변환(transformation)이라고 한다.
  $T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$
• 이때 n=m 인 경우, 이 변환을 연산자(operator)라고 한다.

행렬 변환

m x n 행렬 A에 대해 Ax=b에서의 A는 n-벡터(x)를 입력 받아 m-벡터(b)를 출력으로 내는 변환으로 볼 수 있다.

이 변환은 행렬이 정의하기 때문에 행렬 변환(matrix transformation)이라고 한다.

그런데 행렬 변환은 선형 함수의 성질을 모두 만족하기 때문에 선형변환이다.

또한 모든 선형 함수는 행렬로 표현가능하다.

선형 변환 코딩

입력을 n-벡터, 출력을 n벡터로 하는 선형 변환을 코딩하려면 m x n 표준행렬을 구성해야 한다.
표준 행렬은 기저벡터를 목표로 하는 변환만큼 계산해서 구한다.