[U] Week 1 - 통계학

JaeJun Lee ·2022년 9월 22일

부스트캠프 AI Tech

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모수

통계적 모델링은 적절한 가정 위에서 확률분포를 추정(Inference)하는 것이 목표이며, 기계학습과 통계학이 공통적으로 추구하는 목표이다.

유한한 개수의 데이터만 관찰해서 모집단의 분포를 정확하게 알아낸다는 것은 불가능하므로, 근사적으로 확률분포를 추정할 수 밖에 없다.
- 예측모형의 목적은 분포를 정확하게 맞추는 것보다는 데이터와 추정 방법의 불확실성을 고려해서 위험을 최소화하는 것이다.

데이터가 특정 확률분포를 따른다고 선형적으로(a priori) 가정한 후 그 분포를 결정하는 모수(parameter)를 추정하는 방법을 모수적(parametric) 방법론이라 한다.
특정 확률분포를 가정하지 않고 데이터에 따라 모델의 구조 및 모수의 개수가 유연하게 바뀌면 비모수(nonparametric) 방법론이라 부른다.

기계학습의 많은 방법론은 비모수 방법론에 속한다.
비모수 방법론은 모수가 없는 것이 아니라 모수가 무한히 많거나 모수의 개수가 데이터에 따라서 바뀌는 방법론이다.
모수와 비모수 방법론은 어떤 가정을 미리 부여하는지에 따라 구분된다.

확률분포를 가정하는 방법은 우선 히스토그램을 통해 모양을 관찰한다.

데이터가 2개의 값(0 또는 1)만 가지는 경우: 베르누이분포
데이터가 n개의 이산적인 값을 가지는 경우: 카테고리분포, 다항분포
데이터가 [0, 1] 사이에서 실수 값을 가지는 경우: 베타분포
데이터가 0 이상의 값을 가지는 경우: 감마분포, 로그정규분포 등
데이터가 $R$ (실수) 전체에서 값을 가지는 경우: 정규분포, 라플라스분포 등

기계적으로 확률분포를 가정해서는 안 되며, 데이터를 생성하는 원리를 먼저 고려하는 것이 원칙이다.

각 분포마다 검정하는 방법들이 있으므로 모수를 추정한 후에는 반드시 검정을 해야 한다.

데이터의 확률분포를 가정했다면 모수를 추정해볼 수 있다.

정규분포의 모수는 평균과 분산으로 이를 추정하는 통계량(statistic)은 다음과 같다.

표본분산을 구할 때 $N$ 이 아니라 $N-1$ 로 나누는 이유는 표본분산의 기대값이 모집단에 분산과 일치하게 된다. (불편(unbiased) 추정량을 구하기 위해서이다)

\quad\quad\bar{X} = \frac{1}{N}\displaystyle\sum^N_{i=1}X_i \quad\quad S^2=\frac{1}{N-1}\displaystyle\sum^N_{i=1}(X_i-\bar{X})^2\\ E[\bar{X}]=\mu \quad\quad\quad\quad\quad\quad E[S^2] = \sigma^2

통계량의 확률분포를 표집분포(samplig distribution)라 부르며, 특히 표본평균의 표집분포는 $N$ 이 커질수록 정규분포를 따른다.

표본평균과 표본분산의 확률분포를 표집분포라 부르므로 표본분포와 표집분포는 다르다.
중심극한정리(central limit theorem)이라 부르며, 모집단의 분포가 정규분포를 따르지 않아도 표본평균의 표집분포는 정규분포를 따른다.

최대가능도 추정법

표본평균이나 표본분산은 중요한 통계량이지만 확률분포마다 사용하는 모수가 다르므로 적절한 통계량이 달라지게 된다.
이론적으로 가장 가능성이 높은 모수를 추정하는 방법 중 하나는 최대가능도 추정법(maximum likelihood estimation, MLE)이다.

본래 확률밀도함수는 모수가 주어져있을 때 x에 대한 함수로 해석을 하지만, 가능도 함수는 주어진 데이터 x에 대해서 모수를 변수로 둔 함수이다.
가능도(likelihood) 함수는 모수( $\theta$ )를 따르는 분포가 x를 관찰할 가능성을 뜻하지만 확률로 해석하면 안된다.

데이터 집합 X가 독립적으로 추출되었을 경우 로그가능도를 최적화한다.

로그가능도를 최적화하는 모수는 가능도를 최적화하는 MLE가 된다.
데이터의 숫자가 적으면 상관없지만 만일 데이터의 숫자가 수억 단위가 된다면 컴퓨터의 정확도로는 가능도를 계산하는 것은 불가능하다.
데이터가 독립일 경우, 로그를 사용하면 가능도의 곱셈을 로그가능도의 덧셈으로 바꿀 수 있기 때문에 컴퓨터로 연산이 가능해진다.
경사하강법으로 가능도를 최적화할 때 미분 연산을 사용하게 되는데, 로그가능도를 사용하면 연산량을 $O(n^2)$ 에서 $O(n)$ 으로 줄여준다.
대게의 손실함수의 경우 경사하강법을 사용하므로 음의 로그가능도(negative log-likelihood)를 최적화하게 된다.

최대가능도 추정법을 이용해서 기계학습 모델을 학습할 수 있다.

딥러닝 모델의 가중치를 $\theta = (W(1) ... W(l)$ 라 표기했을 때 분류 문제에서 소프트맥스 벡터는 카테고리분포의 모수 $(P(1)\, ... \, P(k))$ 를 모델링한다.
원핫벡터로 표현한 정답레이블 $y = (y(1)\, ... \, y(k))$ 을 관찰데이터로 이용해 확률분포인 소프트맥스 벡터의 로그가능도를 최적화할 수 있다.

\hat{\theta}_{MLE}=argmax_ \theta\,\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}\sum^K_{k=1}y_{i,k}\log{MLP_{\theta}(x_i)_k}

기계학습에서 사용되는 손실함수들은 모델이 학습하는 확률분포와 데이터에서 관찰되는 확률분포의 거리를 통해 유도한다.
데이터 공간에 두 개의 확률분포 $P(x)$ , $Q(x)$ 가 있을 경우 두 확률분포 사이의 거리(distance)를 계산할 때 이용하는 함수들은 다음과 같다.