본 글은 칸아카데미의 확률과 통계 에 대해서 공부하고 정리한 글입니다.
이전 글 에서 표본 통계량을 다루며,표본 은 모집단 이 아니기 때문에 표본통계량 도 모수 를 추정하는데에 오차가 발생하게 된다.
본문에서 다룰 신뢰구간과 오차범위는 이러한 오차를 설명하는 방법이다.
1. 신뢰구간
신뢰구간(Confidence Interval) 은,(신뢰수준, Confidence Level) 을 통해
신뢰구간 예시 및 해석의 올바른 예
야구에서 타구의 평균 속도에 대해 95 % 95\% 9 5 % ( 110 , 120 ) (110, 120) ( 1 1 0 , 1 2 0 )
1-1. 신뢰구간 계산
신뢰구간은 다음과 같은 식을 사용하여 계산된다.Statistic \text{Statistic} Statistic Critical Value \text{Critical Value} Critical Value σ Statistic = SE \sigma_{_{\text{Statistic}}}=\;\text{SE} σ Statistic = SE
신뢰구간 = Statistic ± Critical Value ( z ∗ or t ∗ ) × σ Statistic \begin{aligned} \text{신뢰구간} \;&=\; \text{Statistic} \;\pm\; \text{Critical Value}(z^* \;\text{or}\; t^*) \;\times\; \sigma_{_{\text{Statistic}}} \end{aligned} 신뢰구간 = Statistic ± Critical Value ( z ∗ or t ∗ ) × σ Statistic 표본통계량 글에서 기술했듯이,
1️⃣ 모비율의 신뢰구간 p p p p ^ \hat p p ^ ( p ≈ p ^ ) (p \approx \hat p) ( p ≈ p ^ )
신뢰구간 = p ^ ± z ∗ × p ( 1 − p ) n \begin{aligned} \text{신뢰구간} \;&=\; \hat p \pm z^* \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \end{aligned} 신뢰구간 = p ^ ± z ∗ × n p ( 1 − p ) 2️⃣ 모평균의 신뢰구간 σ \sigma σ S S S
신뢰구간 = x ˉ ± z ∗ × σ n … 모표준편차를 아는 경우 = x ˉ ± z ∗ × S n … 모표준편차를 모르는 경우 ( n ≥ 30 ) = x ˉ ± t ∗ × S n … 모표준편차를 모르는 경우 ( n < 30 ) \begin{aligned} \text{신뢰구간} \;&=\; \bar{x} \pm z^* \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \dots \quad \text{모표준편차를 아는 경우} \\\,\\ \;&=\; \bar{x} \pm z^* \times \frac{S}{\sqrt{n}} \quad \dots \quad \text{모표준편차를 모르는 경우} \; (n \ge 30) \\\,\\ \;&=\; \bar{x} \pm t^* \times \frac{S}{\sqrt{n}} \quad \dots \quad \text{모표준편차를 모르는 경우} \; (n \lt 30) \end{aligned} 신뢰구간 = x ˉ ± z ∗ × n σ … 모표준편차를 아는 경우 = x ˉ ± z ∗ × n S … 모표준편차를 모르는 경우 ( n ≥ 3 0 ) = x ˉ ± t ∗ × n S … 모표준편차를 모르는 경우 ( n < 3 0 ) 만약 모표준편차를 모르는 경우, 표본표준편차를 통해 모수를 추정하고 대체하여 사용할 수 있으며,
🧠 신뢰구간과 표본크기
위의 식에서 알 수 있듯이, 신뢰구간은 표본크기와 반비례한다.
모비율 / 모표준편차는 우리가 알 수 없거나 이미 정해져있는 값이기 때문에신뢰구간을 좁히고 싶다면 표본의 크기를 늘리는 방법 을 고려해볼 수 있다.
1-2. 신뢰구간 예제
표본의 크기는 100일때 표본평균은 50이고 모표준편차가 10인 경우, 95% 신뢰구간을 계산해보자.
각각 기호로 나타내면 아래와 같고,
x ˉ = 50 , n = 100 , σ = 10 , z ∗ = 1.96 \bar{x} = 50 \;,\; n=100 \;,\; \sigma=10 \;,\; z^*=1.96 x ˉ = 5 0 , n = 1 0 0 , σ = 1 0 , z ∗ = 1 . 9 6 신뢰구간은 다음과 같이 구할 수 있다.
신뢰구간 = 50 ± 1.96 × 10 100 = 50 ± 1.96 × 1 = 50 ± 1.96 \text{신뢰구간} \;=\; 50 \pm 1.96 \times \frac{10}{\sqrt{100}} \;=\; 50 \pm 1.96 \times 1 \;=\; 50 \pm 1.96 신뢰구간 = 5 0 ± 1 . 9 6 × 1 0 0 1 0 = 5 0 ± 1 . 9 6 × 1 = 5 0 ± 1 . 9 6 따라서 신뢰구간은 [ 48.04 , 51.96 ] \;[48.04,\; 51.96]\; [ 4 8 . 0 4 , 5 1 . 9 6 ]
2. 오차범위
신뢰구간과 오차범위는 의미만 조금 다를 뿐, 같은 수식을 통해서 구하기 때문에
위에서 말한 신뢰수준/신뢰구간을 신뢰수준/오차범위로 표현할 수도 있다.
신뢰수준 / 신뢰구간 : 95% 확률로 (33%, 53%) 구간 이내에 모수가 존재한다.신뢰수준 / 오차범위 : 95% 확률로 10% 오차범위 이내에서 43%가 모수이다.
같은 방법을 통해 구해진 같은 값을 가지고, 표현을 다르게 할 뿐 결국 의미는 동일하다.
🧠 오차범위와 표본크기
만약 우리가 신뢰수준 95%에 오차범위를 ±2% 이내로 하고 싶다고 가정해보자.
오차범위은 아래의 식을 통해 구할 수 있고,z ∗ z^* z ∗
오차범위 2 % ≥ z ∗ × p ( 1 − p ) n ⋯ 1.96 × p ( 1 − p ) n 2 196 = 1 98 ≥ p ( 1 − p ) n \begin{aligned} \text{오차범위} \;\;2\% \;&\geq\; z^* \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \quad\cdots\quad 1.96 \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \\\;\\ \frac{2}{196} = \frac{1}{98}\;&\geq\; \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \end{aligned} 오차범위 2 % 1 9 6 2 = 9 8 1 ≥ z ∗ × n p ( 1 − p ) ⋯ 1 . 9 6 × n p ( 1 − p ) ≥ n p ( 1 − p ) 최소 표본 크기를 구하기 위해서, 모비율 p p p p = 0.5 p\;=\;0.5 p = 0 . 5
1 98 ≥ 0.5 ( 1 − 0.5 ) n = 0.25 n 1 9 8 2 ≥ 0.25 n 4 9 8 2 = 1 2401 ≥ 1 n 2401 ≤ n \begin{aligned} \frac{1}{98}\;&\geq\; \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{n}} \;=\; \sqrt{\frac{0.25}{n}} \\\;\\ \frac{1}{98^2}\;&\geq\;\frac{0.25}{n} \\\;\\ \frac{4}{98^2} \;=\; \frac{1}{2401} \;&\geq\;\frac{1}{n} \\\;\\ 2401 \;&\leq\;n \end{aligned} 9 8 1 9 8 2 1 9 8 2 4 = 2 4 0 1 1 2 4 0 1 ≥ n 0 . 5 ( 1 − 0 . 5 ) = n 0 . 2 5 ≥ n 0 . 2 5 ≥ n 1 ≤ n 즉, 신뢰수준 95%에서 오차범위 2% 이내가 되려면 최소 표본 크기는 2401 개 임을 알 수 있다.
3. 신뢰구간의 조건
위와 같이 구해진 신뢰구간이 유효하기 위해서는 다음 3가지 조건을 만족해야한다.
1️⃣ 임의성 : 표본은 임의추출 혹은 무작위 실험으로부터 구해져야 한다.2️⃣ 일반성 : 표본 분포가 정규 분포 형태를 따라야 한다.n n n n n n t ∗ t^* t ∗ 3️⃣ 독립성 : 모든 관측값은 독립이어야 하며, 비복원추출이라면 표본 크기가 모집단의 10% 이내어야 한다.
4. t-통계량을 이용한 신뢰구간 추정
위에서 다뤘던 신뢰구간의 공식을 다시 살펴보자.
신뢰구간 = x ˉ ± z ∗ × σ n ≈ x ˉ ± z ∗ × S n \begin{aligned} \text{신뢰구간} \;&=\; \bar{x} \pm z^* \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;\approx\; \bar{x} \pm z^* \times \frac{S}{\sqrt{n}} \end{aligned} 신뢰구간 = x ˉ ± z ∗ × n σ ≈ x ˉ ± z ∗ × n S 다만 위와 같이 표본표준편차와 임계값 z ∗ z^* z ∗ z ∗ z^* z ∗ t ∗ t^* t ∗
신뢰구간 = x ˉ ± t ∗ × S n ⋯ (모표준편차를 모르는 경우) \begin{aligned} \text{신뢰구간} \;&=\; \bar{x} \pm t^* \times \frac{S}{\sqrt{n}} \quad \cdots \quad \text{(모표준편차를 모르는 경우)} \end{aligned} 신뢰구간 = x ˉ ± t ∗ × n S ⋯ ( 모표준편차를 모르는 경우 ) t-통계량의 경우 자유도의 개념이 추가 되는데,표본집단의 표준편차 를 구할 때 n이 아닌 n-1로 나누는 것과 같이 t-통계량에서의 자유도 또한 n-1 이다.
