[Linear Viscoelasticity] 01. Linear Viscoelasticity

jmt·2024년 2월 22일

선형점탄성(Linear Viscoelasticity)

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What is Linear System

선형 시스템이란 선형성을 만족하는 시스템을 말한다. 그렇다면 선형성은 무엇인가? 첫번째로 Superposition(Addictivity)와 두번째로 Homogeneity를 만족하는 함수 $f$ 는 선형(Linear)이라고 말한다. 그러므로 선형 시스템, $F[\blacksquare]$ 은 다음을 만족하게 된다.

\begin{aligned} F[\alpha_1 x_1(t) + \alpha_2 x_2(t)] &= \alpha_1 F[x_1(t)] + \alpha_2 F[x_2(t)]\\ F[\sum^N_{k=1} \alpha_k x_k(t)] &= \alpha_k F[x_k(t)] \end{aligned}

선형 점탄성은 선형 응답 조건에서 점탄성 거동을 의미한다. 즉, 변형/유동(strain)에 따라 계가 응답하는 응력(stress)이 선형성이라는 의미이다. 그렇다면 다음을 만족한다.

\begin{aligned} \gamma(t) = F[\sigma(t)]\\ \sigma(t) = F[\gamma(t)] \end{aligned}

선형 시스템이면 input, $x(t)$ 에 따른 output, $y(t)$ 을 다음과 같이 나타낸다.

y(t) = \int^t_{-\infin} K(t-\tau)x(\tau)d\tau

왜 그런지 알아보도록 하자.

Impulse Function and Impuse Response

어떠한 선형 시스템에 임의의 Impulse Function, $\delta(t)$ 을 input으로 주어 그 응답으로 Impuse Response, $H(t)$ 가 나온다면 우리는 선형성에 의해 다음과 같이 정의할 수 있다.

H(t)=F[\delta(t)]

$H(t)$ 를 알 수 있다면 impulse function이 아닌 임의의 input, $x(t)$ 에 대한 output, $y(t)$ 를 구할 수 있게 된다!

Discrete Time Domain

이산 시간 영역(Discrete Time Domain)에서 $\delta(t)$ 는 다음과 같이 정의한다.

\begin{aligned} \delta[n] &= \begin{cases} 1\quad n=0\\0\quad else\end{cases}\\ \sum^{\infin}_{-\infin} \delta[k]&=1;\quad\quad\sum^{\infin}_{-\infin} f[k]\delta[k]=f[0] \end{aligned}

그렇다면 임의의 input $x[n]$ 을 $\delta[n]$ 의 합으로 표현할 수 있게 된다.

\begin{aligned} x[n] &= \cdots + x[-1]\delta[n+1] + x[0]\delta[n] + x[1]\delta[n-1] + \cdots \\ &= \sum^{\infin}_{-\infin} x[k]\delta[n-k] \end{aligned}

그럼 $y[n]$ 은 다음과 같다.

\begin{aligned} y[n] &= F\left[x[n]\right]\\ &= F\left[\sum^{\infin}_{-\infin} x[k]\delta[n-k]\right]\\ &= \sum^{\infin}_{-\infin} x[k] F\left[\delta[n-k]\right]\\ &= \sum^{\infin}_{-\infin} x[k] H[n-k]\\ &= x[k] * H[n-k]\quad\quad (convolusion) \end{aligned}

Continuous Time Domain

동일한 원리를 이용하여 이번에는 연속 시간 영역(Continuous Time Domain)에서 $y(t)$ 를 구해보자.

\begin{aligned} \delta(t) &= \begin{cases} \infin\quad n=0\\0\quad\;\, else\end{cases}\\ \int^{\infin}_{-\infin} \delta(t)dt&=1;\quad\quad\int^{\infin}_{-\infin} f(t)\delta(t)=f(0) \end{aligned}

$x(t)$ 는 다음과 같다.

\begin{aligned} x(t) &= \lim_{\Delta\rightarrow 0} \left( \cdots + x(0)\delta(t)\Delta + x(\Delta)\delta(t-\Delta)\Delta + x(2\Delta)\delta(t-2\Delta)\Delta + \cdots \right)\\ &= \lim_{\Delta\rightarrow 0} x(k\Delta)\delta(t-k\Delta)\Delta\\ Let\quad \lim_{\Delta\rightarrow 0}k\Delta &=\tau\\ x(t) &= \int^{\infin}_{-\infin}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\quad\quad (convolusion) \end{aligned}

그러므로 $y(t)$ 는 다음과 같다.

\begin{aligned} y(t) &= \int^{\infin}_{-\infin} x(\tau)H(t-\tau)d\tau\\ &= x(t) * H(t) \end{aligned}

Rheological System

유변학은 변형과 흐름을 연구하는 학문이고, 물질의 유변물성을 알아보기 위해 변형과 응력의 관계로 나타나는 점탄성 거동을 연구한다. 그리고 현재 우리는 선형 점탄성에 대해 공부하고 있다. 선형 시스템에서 위와 같이 output, $y(t)$ 를 input, $x(t)$ 와 $H(t)$ 라는 Response Function의 합성곱(convolusion)의 형태로 나타낼 수 있다. 이제 변형(strain)과 응력(stress)을 각각 다음과 같이 정의한다면 어떤 결과를 얻을 수 있는지 알아보자.

\begin{aligned} \gamma(t) &= \gamma_0 \Theta(t)\\ \sigma(t) &= \sigma_0 \Theta(t) \end{aligned}

where

\Theta(t) = \int^t_{\infin}\delta(x)dx

즉, 디랙 델타 함수는 단위 계단 함수(unit-step function), $\Theta(t)$ 의 시간에 대한 미분꼴임을 알 수 있다.

이제 어떤 고분자 물질의 구조와 물성을 알아보기 위해 임의의 input으로 strain( $\gamma$ )를 가하여 그 응답으로 stress( $\sigma$ )를 측정하고, 그 관계를 Response function과 input의 합성곱으로 표현해보자. 여기서 Response function은 $G(t)$ 를 사용하였다.