[Linear Viscoelasticity] 02. Boltzmann Superposition Principle (BSP)

jmt·2024년 2월 20일
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선형점탄성(Linear Viscoelasticity)

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Boltzmann Superposition Principle

선형점탄성은 물질의 structure와 property를 나타내는 System이 선형 시스템인 경우에 Strain(γ\gamma)와 Stress(σ\sigma)의 관계가 System의 Input / Output으로 선형성을 띄는 경우이다. 우리는 고분자와 같은 점탄성 물질(Viscoelastic materials)이 실험을 통해 strain을 input으로 주면 stress를 output으로 측정할 수 있고, 그 역도 가능하다는 사실을 안다. 그리고 주어진 System은 선형 시스템이다. 그렇다면 다음이 성립한다.

f[α1γ1(t)+α2γ2(t)]=α1f[γ1(t)]+α2f[γ2(t)]f[\alpha_1\gamma_1(t)+\alpha_2\gamma_2(t)] = \alpha_1 f[\gamma_1(t)] + \alpha_2 f[\gamma_2(t)]

일반화하면,

f[∑k=1Nαkγk(t)]=∑k=1Nαkf[γk(t)]f[\sum^N_{k=1}\alpha_k \gamma_k (t)] = \sum^N_{k=1}\alpha_k f[\gamma_k(t)]

이제 strain을 다음과 같이 정의하자. Θ\Theta는 Unit-step function이다.

γ(t)=∫−∞tdγdτdτ=∫−∞tdγdτΘ(t−τ)dτ\gamma(t) = \int^t_{-\infin} \frac{d\gamma}{d\tau}d\tau = \int^t_{-\infin} \frac{d\gamma}{d\tau}\Theta(t-\tau) d\tau

Integration is an infinite sum! 즉, 적분은 무한합이다. 그러므로 다음이 성립한다.

σ(t)=f[∫−∞tdγdτΘ(t−τ)dτ]=∫−∞tdγdτf[Θ(t−τ)]dτ\begin{aligned} \sigma(t) &= f[\int^t_{-\infin} \frac{d\gamma}{d\tau}\Theta(t-\tau) d\tau] \\ &= \int^t_{-\infin} \frac{d\gamma}{d\tau} f[\Theta(t-\tau)]d\tau \end{aligned}

선형 점탄성에서 stress는 다음과 같이 정의된다는 것을 배웠다.

σ(t)=∫−∞tG(t−τ)dγdτdτ\sigma(t) = \int^t_{-\infin} G(t-\tau) \frac{d\gamma}{d\tau}d\tau

그러므로, Relaxation Modulus G(t)G(t)는 다음과 같이 정의할 수 있다.

G(t)≡f[Θ(t)]G(t) \equiv f[\Theta(t)]

동일하게 stress에 대한 strain을 구해보면 Creep Compliance J(t)J(t)도 구할 수 있다.

J(t)≡f−1[Θ(t)]J(t) \equiv f^{-1}[\Theta(t)]

요약하자면, f[■]f[\blacksquare ]는 점탄성 물질의 물성을 나타내는 범함수(functional)이다. 그리고 Relaxation Modulus와 Creep Compliance는 material function이라고 불린다.

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