네이버 부스트 캠프 수업을 듣는 중에 벡터의 내적에 대한 설명이 조금 아쉬워서 공부한 내용을 추가해보고자 한다.
벡터의 곱에는 두 가지 정의가 있다.
외적과 내적.
💡벡터의 내적
그중 내적은 벡터를 마치 수처럼 곱하는 개념이다. 벡터에는 방향이 존재하기에, 우리는 방향이 상이한(동일하더라도) 벡터들을 방향이 일치하는 만큼만을 곱해주어야 한다.
연산자 표현은 이처럼 점으로 표시한다
만약 두 벡터의 방향이 동일하다면, 두 벡터의 크기(norm)를 그냥 곱하면 된다. 만약 두 벡터의 방향이 90도라면 서로 다른 벡터에게 가하는 힘이 0이므로 내적은 0이 된다. 만약 두 벡터의 방향이 180도라면 -1 X a의 norm X b의 norm이 될 것이다.
결국 내적은 한 벡터를 다른 벡터로 정사형 시켜, 그 벡터의 크기를 곱하는 것이다. 그리고 벡터의 내적의 결과값은 벡터가 아닌 스칼라로 나타난다.
그렇기에 세 개의 벡터 내적이 계산은 불가능해진다.
이것을 기하학적으로 이해해보자
위치 벡터 (a,b)에 대해 이 위치벡터와의 내적이 항상 일정하게 되는 위치 벡터의 자취는 무엇일까?
위치 벡터를 N(a,b) 그리고 이것과 내적이 항상 일정하게 유지되는 위치 벡터의 자취들 중 하나를 P(x,y)라고 두자. 이것에 코사인 제 2법칙을 적용해보면
가 된다.
이 값이 일정하기에 ax + by = c(상수)가 된다.
즉, 위치벡터 OP의 자취는 직선 ax+by=c가 된다.
이는 ax+by=c 상의 점 P(x,y)에 대해 벡터 OP와 ON(a,b)의 내적은 항상 C로 일정하게 된다. 이때 ax+by=c는 기울기가 -a/b이므로 당연하게 ON에 직교하게 되고 정사영 점은 이에 따라서 동일하게 나타나게 된다.
이때 정사영된 점과 O의 거리를 d라고 둘 때, d의 값은 c를 벡터 (a,b)의 크기로 나눈 값과 같아지게 된다.
벡터 내적의 대수적 이해
💡벡터의 외적
내적이 있으면 외적도 있을 것이다. 외적은 벡터의 회전이라고 볼 수 있다.
두 벡터의 곱의 결과가 벡터로 나타나는데 방향은 곱하는 두 벡터에 대해 수직이고, 벡터의 크기는 두 벡터가 이루는 정사각형의 넓이 만큼이다. 이때 외적은 3차원에서만 가능하다. 또한 외적은 곱셈의 순서에 따라 그것의 방향성도 달라진다.
그렇다면 왜 그럴까?
이것은 앞에 있는 벡터(a)가 뒤에 있는 벡터(b)로 회전한다고 생각하면 된다. 그것이 n 벡터로 나타난다고 생각하면 된다.
참고자료 : https://j1w2k3.tistory.com/627
http://visualdb.net/2020/07/21/vectorinnerouterproduct/
https://wikidocs.net/22384
https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=yh6613&logNo=221215246030
