[이코테 2021] 17. 크루스칼 알고리즘

🔊본 포스팅은 '(이코테 2021) 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬' 유튜브 강의를 수강하고 정리한 글입니다.

신장 트리

• 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.
  - 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 하다.
  

최소 신장 트리

• 최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾아야 할 때 어떻게 해야 할까요?
• 예를 들어 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우를 생각해 봅시다.
  - 두 도시 A,B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치합니다.
  

크루스칼 알고리즘

• 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘이다.
• 그리디 알고리즘으로 분류된다.
• 구체적인 동작 과정은 다음과 같다.
  

크루스칼 알고리즘: 코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a<b:
    	parent[b] = a
    else:
    	parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v,e = map(int, input().split())
parent = [0]*(v+1)  # 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
	parent[i] = i
    
# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
	a,b,cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
	cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
    	union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

크루스칼 알고리즘 성능 분석

• 크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, $O(ElogE)$의 시간 복잡도를 가진다.
• 크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선에 대해서 정령을 수행하는 부분이다.
  - 표준 라이브러리를 이용해 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE)이다.