9. 그래프 - 개념

Yona·2021년 9월 29일

그래프 알고리즘 크루스칼

algorithm_study

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💬 그래프 알고리즘

5장의 'DFS/BFS' , 9장의 '최단경로' 모두 그래프 알고리즘의 한 유형.
이외에도 그래프 알고리즘은 다양하지만, 코테에서 출제비중 낮지만 꼭 제대로 알아야 한다.

💬 간단 복습

문제를 봤을땨 '서로 다른 개체 / 객체 가 연결되어있다' 는 이야기를 들으면 그래프 자료구조 를 떠올려야한다.
e.g.) 여러개의 도시들이 연결되어있다.

🤔 when i meet...

최단경로를 찾는 문제가 나오면
-> 노드의 갯수가 적다 : 플로이드-워셜 알고리즘
-> 노드/간선의 갯수가 많다 : 우선순위큐+다익스트라 알고리즘

💬 크루스칼 알고리즘

트리

모든 노드가 포함되어있어야 함

사이클이 존재하지 않아야한다.

신장트리

하나의 그래프가 있을때
1. 모든 노드가 연결되어있고
2. 사이클이 존재하지 않는
부분그래프

크루스칼 알고리즘 Kruskal Algorithm

✔️목표
최소한의 비용으로 신장트리를 찾는다

ex) N개의 도시가 존재할때, 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결되게 도로 설치. 모든 도시를 연결하되, 최소한의 비용으로 연결하는 방법 찾기.
그리디 알고리즘으로 분류된다.

✔️ 방법
모든 간선에 대해 정렬 수행
-> 가장 거리 짧은 간선부터 집합에 포함 (사이클 발생 가능시 포함X)

자세히 설명하면
1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재 간선이 사이클 발생하는지 확인
- 사이클 발생하지 않으면 최소신장트리에 포함
- 사이클 발생하면 최소신장트리에 포함 X
3. 모든 간선에 대해 2번 과정 반복

✔️ 구현

# 특정 원소가 속한 집합 찾기 
def find_parent(parent, x) :
	# 루트노드가 아니라면, 루트노드를 찾을때까지 재귀호출
    if parent[x] != x :
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
        
# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b) :
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
   	if a < b :
    	parent[b] = a
    else :
    	parent[a] = b

# 노드의 갯수와 간선(union 연산)의 갯수 입력받기
v,e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) #부모 테이블 초기화


# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수 
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기자신으로 초기화
for i in range(1, v+1) :
	parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e) :
	a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges :
	cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b) :
    	union_parent(parent, a, b)
        result += cost
 
print(result) # 최종 최소 비용을 출력

✔️ 시간복잡도

간선의 갯수가 E일때 O(ElogE)

간선을 정렬하는게 제일 오래걸리고, E개 데이터 정렬 복잡도는 O(ElogE)이기 때문

💬 위상정렬 topology sort

✔️ 목표

정렬알고리즘의 일종

순서가 정해져 있는 일련의 작업 차례로 수행해야할때 사용
방향그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스리지 않도록 순서대로 나열하는것'

✔️ 방법
1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌때까지 다음 과정 반복
- 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거
- 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

모든 원소를 방문하기전에 큐가 빔 = 사이클이 존재
기본적으로 위상정렬 문제에서는 사이클이 발생하지 않는다고 명시하는 경우가 많음.
진입차수 Indegree
특정한 노드로 '들어오는' 간선의 갯수

✔️ 구현

from collections import deque

# 노드의 갯수와 간선의 갯수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())

# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v+1)

# 각 노드에 연결된 간선정보를 담기위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e) :
	a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입차수를 1 증가 
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort() :
	result = [] # 알고리즘 수행결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    
    # 처음 시작할때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v+1) :
    	if indegree[i] == 0 :
        	q.append(i)
    # 큐가 빌때까지 반복
    while q :
    	#큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        indegree[i] -= 1
        if indegree[i] == 0 :
        	q.append(i)

# 위상정렬 수행결과 출력
for i in result : 
 	print(i, end=' ')

topology_sort()