[논문 리뷰] Intelligent PID Gain Selection via Supervised Machine Learning Approach for Decoupled MIMO Control Systems

근태·2025년 9월 14일

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산업공학특론 논문 패널 리뷰

본 내용은 Intelligent PID Gain Selection via Supervised Machine Learning Approach for Decoupled MIMO Control Systems 논문을 읽고 정리한 내용입니다.

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Contribution

PID 최적화에 대한 기존 연구의 대부분은 유전 알고리즘(GA) 및 입자 군집 최적화(PSO)와 같은 진화 알고리즘 또는 강화 학습에 초점을 맞추고 있지만, 디커플러를 사용한 MIMO PID 튜닝에서의 구체적인 사용은 충분히 연구되지 않았음

Introduction

본 연구는 decoupler가 장착된 PID 기반의 MIMO(Multiple-Input Multiple-Output) 제어 프레임워크에 중점을 두고 있음
- MIMO 시스템에서는 각 입력과 출력 채널 사이에 상호 간섭(cross-coupling)이 발생할 수 있는데, 디커플러는 이러한 간섭을 줄여 각 채널이 서로 영향을 덜 받으면서 독립적으로 제어될 수 있도록 돕는 장치
PID Gain Parameter 튜닝은 Supervised Learning을 사용한 Classification Task로 재구성
- 다양한 분류 모듈을 활용하여 분류기가 최적의 이득 조합을 얼마나 잘 선택하는 지 평가
- 4개의 지도 학습 알고리즘 - Naïve Bayes Classifier (NBC), Random Forest Classifier (RFC), Support Vector Machine Classifier (SVMC), and Logistic Regression Classifier (LRC)가 Proposed Model 내에 통합
- 이 분류기들은 경쟁 모델로 평가되지 않고 성능 클래스(Class1 : 높음, Class2 : 중간, Class3 : 낮음)별로 분류된 레이블이 지정된 합성 데이터셋에서 최상의 이득값을 선택하기 위한 메커니즘으로 평가
- 결과적으로, 정착 시간(Settling time), 안정성 마진(Stability margins), 개루프 응답(Open-loop responses)와 같은 동적 출력을 평가
  - Settling time: 시스템의 출력이 목표값에 도달하여 일정 범위 내에서 안정화되는 데 걸리는 시간
  - Stability margins: Gain margin과 Phase margin을 포함하여, 시스템이 불안정해지기 전까지 얼마나 많은
  - Open-loop responses: 제어 루프가 닫히기 전, 시스템의 입력에 대한 출력 반응을 분석하는 것
MIMO 시스템에서 PID 컨트롤러를 독립적으로 튜닝할 때 cross-coupling 때문에 성능 저하가 발생
- MIMO 시스템은 여러 개의 입력과 여러 개의 출력을 가지는 복잡한 제어 시스템
- MIMO 시스템에서 중요한 문제는 상호 간섭(Cross-coupling)으로, 한 입력이 특정 출력에 영향을 미치는 것뿐만 아니라 다른 출력에도 동시에 영향을 미치는 현상을 의미
- Ziegler-Nichols 및 Cohen-Coon과 과 같은 heuristic, rule-based approach는 SISO(Single-Input Single-Output) 시스템을 위해 개발되었으며, 비선형성, 시스템 불확실성, 교차 결합 효과로 어려움을 겪는 경우가 많음
대조적으로 제안된 데이터 기반 접근 방식은 성능 데이터를 기반으로 지도 분류를 사용하여 지능적인 선택을 가능하게 함
본 연구의 목표는 다음과 같음:
- integrated decoupler를 사용하여 MIMO-based PID controller를 모델링
- AI/ML classification을 적용하여 PID gain value를 최적화
- 향상된 제어 정확도, 더 빠른 시스템 응답, 더 나은 에너지 효율성, 향상된 안정성 및 견고성, 모델 전송 가능성을 포함

The Proposed PID Controller with MIMO System

본 연구에서는 고려 중인 MIMO 시스템이 3개 또는 4개 입력으로 구성된 Linear Square Stable Non-Singular(LSSNS) 시스템이라고 가정
- Linear: 시스템의 입력과 출력 관계가 선형 방정식을 따른다
- Square: 시스템 행렬 $M$ 이 행과 열의 개수가 같은 정방 행렬
- Non-Singular (비특이): 행렬이 역행렬을 가진다 (행렬식이 0이 아니어야 역행렬을 가질 수 있음)
- 시스템 행렬 $M$ 은 가장 큰 비특이 부분행렬이 0이 아닌 행렬식을 가지면 LSSNS로 간주되며, 이는 full rank를 나타냄
비선형 시스템은 복잡하여 직접 제어기를 설계하기 어렵기 때문에, 특정 작동점(평형점, equilibrium point) 주변에서 선형 모델로 근사하는 것이 일반적인 접근 방식임 (비선형 미분 방정식으로 표현된 시스템을 제어하기 위해 선형화하는 과정을 거침)
- 비선형 미분 방정식 시스템
  $\begin{cases}\frac{du}{dt} = f(u, v) \\ \frac{dv}{dt} = g(u, v) \end{cases}$
  - 시스템의 상태 변수 $u$ 와 $v$ 의 시간에 따른 변화율이 각각 비선형 함수 $f(u,v)$ 와 $g(u,v)$ 에 의해 결정됨을 나타냄. 즉 $u$ 와 $v$ 가 어떻게 변하는지 설명하는 비선형 동역학 모델
- 평형점 $(\hat{u}, \hat{v})$ 의 가정
  $f(\hat{u}, \hat{v})=0 \\ g(\hat{u}, \hat{v})=0$
  - 평형점은 시스템의 상태 변화율이 0이 되는 지점을 의미. 이 지점은 시스템이 정지해 있거나, 일정한 상태를 유지하는 경우로 시스템을 선형화할 때 기준이 되는 중요한 작동점
- 비선형 함수 선형화
  $f(u, v) \approx \frac{\partial f}{\partial u}(\hat{u}, \hat{v})(u - \hat{u}) + \frac{\partial f}{\partial v}(\hat{u}, \hat{v})(v - \hat{v})$
  $g(u, v) \approx \frac{\partial g}{\partial u} (\hat{u}, \hat{v}) (u - \hat{u}) + \frac{\partial g}{\partial v} (\hat{u}, \hat{v}) (v - \hat{v})$
  - 비선형 함수 $f(u,v)$ 와 $g(u,v)$ 를 평형점 $(\hat{u}, \hat{v})$ 주변에서 테일러 급수의 1차 항까지 전개하여 선형으로 근사한 것
  - $\frac{\partial g}{\partial u}(\hat{u}, \hat{v})$ = 함수 $f$ 를 $u$ 에 대해 편미분한 후 평형점에서 평가한 값으로, 평형점 근처에서 $u$ 의 변화에 대한 $f$ 의 민감도를 나타내는 상수 계수
  - $(u-\hat{u})$ = 상태 변수 $u$ 가 평형점 $\hat{u}$ 로부터 얼마나 벗어나 있는지를 나타내는 편차(deviation)
- 선형화된 시스템
  $\begin{cases} \frac{du}{dt} = \partial_u f(u - \hat{u}) + \partial_v f(v - \hat{v}) \\ \frac{dv}{dt} = \partial_u g(u - \hat{u}) + \partial_v g(v - \hat{v}) \end{cases}$
  - 선형화된 $f(u,v)$ 와 $g(u,v)$ 표현을 원래의 비선형 미분 방정식에 대입하여 얻은 ㅣ스템
  - 편미분 항들은 모두 상수로 취급되며, 시스템은 이제 $(u-\hat{u})$ 와 $(v-\hat{v})$ 라는 새로운 변수에 대한 선형 미분 방정식이 됨
  - 이러한 선형화된 모델은 평형점 근처에서만 유효하며, 이 모델을 통해 선형 제어 이론의 강력한 도구들을 사용하여 PID 제어기와 같은 제어 시스템을 더 쉽게 설계하고 분석할 수 있음
전체적인 아키텍쳐
- 본 연구는 MIMO 시스템에서 PID 제어기의 자동 튜닝을 위한 AI/ML 지원 알고리즘 개발을 목표로 함
- 첫 번째 단계는 적절한 구조적 모델을 선택하는 것
  - 기존 산업 현장에서는 MIMO 제어를 위해 2개의 PID 제어기를 사용할 수 있지만, 본 연구에서는 미리 정의된 cross-coupling 구조 없이 3개의 PID 제어기를 구현
  - 각 PID 제어기의 출력에 Decoupler를 도입하여 MIMO plant에 통합
    - 이 Decoupler는 시스템의 cofactor matrix를 기반으로 설계되며, 각 제어 루프가 독립적으로 작동하도록 하여 전반적인 제어 성능을 향상시킴
  - MIMO 시스템에서 디커플링된 출력 값인 $Y_1, Y_2, Y_3$ 는 CSV로 저장된 다음 AI/ML Classification model의 입력으로 사용됨
제안하는 모델의 최종 버전
- AI/ML Classifier를 PID Control loop에 직접 내장하여 classifier가 input-output data에서 최적의 gain 값을 예측하여 manual gain selection process를 대체
- 제어 아키텍쳐에는 differentiator, proportional integrators, gain block, machine learning-based optimization module 등과 가은 구성 요소가 포함
- 결과적으로 최적화된 출력 $Y_{op1}, Y_{op2}, Y_{op3}$ 는 closed-loop performance evaluation을 위해 시스템에 다시 공급

3.1 Decoupling the PID

MIMO 시스템은 여러 입력과 여러 출력을 가지며, 각 제어 루프(control loop) 간에 동적 상호작용(dynamic interactions), 즉 크로스-커플링(cross-coupling)이 발생할 수 있음.
이러한 상호작용은 각 PID 컨트롤러가 독립적으로 튜닝될 때 시스템 성능을 저하시킬 수 있음
decoupling scheme는 simplified SISO PID configuration에 기반하며, 여기서 $K$ 는 대각 PID 제어기, $M$ 은 디커플러의 전달 함수 행렬, $N$ 은 플랜트 전달 함수 행렬, $T$ 는 피드백 경로
디커플러의 목적은 다변수 시스템을 대각화하여 동적 상호 작용(dynamic interactions)과 시간 지연(temporal delay)을 최소화하는 것

3.2 Modeling the PID

제어 시스템은 unit step input $R_1, R_2, R_3$ 를 받아 가산기(Adder) 통해서 미분기(Differentiatior)로 전달
미분기는 디커플러와 함께 신호를 2개의 proportional-integral branch, $PIL$ 과 $PIV$ 로 분할하는데, 이 branch는 원치지 않은 동작으로 인한 오류로 간주되는 intermediate outputs $e_1, e_2, e_3$ 를 생성
발생한 오류는 음성 피드백(negatively fed back)되어 입력값을 조정하여 업데이트된 입력 $D_k$ 를 생성

$\sum_{k=1}^{z} R_k - \sum_{k=1}^{z} e_k = \sum_{k=1}^{z} D_k$
- $R_k$ = 원래 입력, $e_k$ = 오차항
업데이트된 $D_k$ 는 미분기를 거쳐 다음과 같이 선형화됨. 이 선형화된 구성 요소는 디커플링된 구조의 입력으로 사용
$\sum_{k=1}^{z} D_k = \sum_{k=1}^{z} D_{kL} + \sum_{k=1}^{z} D_{kV}$
Mason's Gain theory를 사용하여 디커플링된 출력이 계산

$\sum_{k=1}^{z} PIL_k(s) = \sum_{k=1}^{z} \left[ G_c(s) \cdot D_{kL}(s) \right]$

$\sum_{k=1}^{z} PIV_k(s) = \sum_{k=1}^{z} \left[ G_c(s) \cdot D_{kV}(s) \right]$
- $G_c(s)$ = 시스템의 internal gain factor
  - $G_{c11}(s)=G_{c22}(s)=1$
  - $G_{c12}(s)=\frac{G_{c12}(s)}{G_{c11}(s)}$
  - $G_{c21}(s)=\frac{G_{c21}(s)}{G_{c22}(s)}$
디커플링된 출력은 PID의 gain optimization factor $q_{LK}, q_{VK}$ 를 계산하는 데 사용

$\sum_{k=1}^{z} q_{Lk}(s) = \left[ K_P + K_I \cdot \frac{1}{s} \right] \sum_{k=1}^{z} PIL_k(s)$

$\sum_{k=1}^{z} q_{Vk}(s) = \left[ K_P + K_I \cdot \frac{1}{s} \right] \sum_{k=1}^{z} PIV_k(s)$
- $K_P$ = Proportional Gain, $K_I$ = Integral Gain, $\frac{1}{s}$ = 적분 항(주파수 도메인 $s$ )
만약 resulting gain $q_{LK}, q_{VK}$ 이 만족스럽지 않으면, 오류가 최소화될 때까지(0에 가까워질 때까지) input adder로 피드백되어 과정이 반복됨
- 오차 $e_k$ 와 최적화된 출력 $Y_{optk}$ 사이의 관계
  $\sum_{k=1}^{z} e_k = Err_f \cdot \sum_{k=1}^{z} Y_{optk}$
  - $\sum_{k=1}^{z} e_k$ = 시스템의 오차항들의 합으로, 원하는 동작과 실제 동작 사이의 차이
  - $Err_f$ = 오차 계수(Error Factor)로, 오차를 최적화된 출력에 비례시키는 스케일링 요소
  - $\sum_{k=1}^{z} Y_{optk}$ = 시스템의 최적화된 출력항들의 합으로, 시스템의 오차가 최적호된 출력과 어떤 비례 관계를 갖는지를 정의
  - 이 반복 과정은 오차가 최소화될 때까지 계속됨
- 오차가 최소화되면, 이 식의 조건이 충족됨
  $\sum_{k=1}^{z} R_k = \sum_{k=1}^{z} D_k$
  - $\sum_{k=1}^{z} R_k$ = 원래의 입력 신호들의 합으로, 시스템이 추종해야 할 목표값
  - $\sum_{k=1}^{z} D_k$ = 오차 피드백을 통해 업데이트된 입력 신호들의 합
오차 최소화 조건이 충족되면 이 시점에서 얻어진 이득 값( $K_P, K_I, K_D$ 와 같은 제어 이득 또는 $q_L, q_V$ 와 같은 최적화 요소)이 AI/ML Classifier를 훈련시키는 데 사용
Classifier는 optimized gain $G_{optk}$ 와 최종 출력 $Y_{optk}$ 를 생성

$Y_{\text{opt}} = \frac{1}{|G_M|s + 1} \begin{bmatrix} G_{M11} & G_{M12} \\ G_{M21} & G_{M22} \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} G_{\text{opt}11} & G_{\text{opt}12} \\ G_{\text{opt}21} & G_{\text{opt}22} \end{bmatrix}$
- $Y_{opt}$ = 최적화된 출력 게임 행렬
- $|G_M|$ = General Model(GM)의 전달 함수 행렬 $G_M$ 의 행렬식(determinant)를 나타냄, MIMO 시스템에서 $G_M$ 은 여러 입출력 간의 관계를 나타내는 행렬
- $\begin{bmatrix} G_{M11} & G_{M12} \\ G_{M21} & G_{M22} \end{bmatrix} \equiv$ GM의 전달 함수 행렬을 의미하며, MIMO 시스템에서 각 입출력 간의 coupling을 포함
- $\begin{bmatrix} G_{\text{opt}11} & G_{\text{opt}12} \\ G_{\text{opt}21} & G_{\text{opt}22} \end{bmatrix}$ = 최종적으로 도출되는 Optimized Gain Matrix

3.3 Algorithm for the PID Design Scheme

PID 튜닝 프레세스
1. Processing model 초기화 및 로드
2. step inputs $R_1, R_2, R_3$ 로드
3. Adder/Summer 연산 수행
4. 미분하고 $PIL, PIV$ 로 분리
5. Gain value 계산
6. output errors $e_1, e_2, e_3$ 생성
7. Gain value 계산
8. ㄹeedback errors $\frac{Y}{R} \neq 1$ 이면 오류를 피드백
9. 1~5 단계 반복
10. Gain value에 AI/ML-based classification 적용
11. optimized outputs $Y_{op1}, Y_{op2}, Y_{op3}$ 를 생성
12. 최소 Integral Absolute Error (IAE) 달성되면 최종 값 저장

3.4 Application of Machine Learning to PID-Based Design: A Case of MIMO Systems

Python 및 MATLAB을 사용하여 머신러닝을 PID 튜닝 프레임워크에 통합하는 것을 평가
data privacy와 reproducibility(재현성)을 위해 Synthetic datasets을 사용

3.4.1 Synthetic Datasets Creation

데이터셋은 Standard normal distribution의 log-normal transformation을 사용하여 생성
$G_i = e^{(\mu + \sigma Z_i)}$
- $\mu$ = 4.4~4.5, $\sigma$ = 0.5~1.0, $Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$ 이고, 각 행은 4개의 값을 포함하며, 총 샘플 수는 300개

3.4.2 Classification Based on Gain Quality

Gain Vector는 시스템 성능 평가 후 3개의 클래스로 레이블링됨
- Class 1 = High-performing (low error, fast settling)
- Class 2 = Moderate
- Class 3 = Low-performing

3.4.3 제안된 PID 모델에 대한 AI/ML 적용

Supervised Classifier는 레이블링된 합성 데이터를 기반으로 최적의 게인 구성(gain configuration)을 식별하는 데 사용
Random Forest, Naïve Bayes, Support Vector Machine, Logistic Regression의 4가지 알고리즘이 사용
- RFC (Random Forest Classifier)
  - 강점: 복잡한 비선형 데이터를 잘 처리하며, 어떤 특징(feature)이 중요한지 알려주는 기능을 제공합니다.
  - PID 튜닝 정당성: MIMO 시스템에서 게인 값들 간의 상호 의존적인 관계를 처리하는 데 적합합니다.
- NBC (Naïve Bayes Classifier)
  - 강점: 빠르고 작은 데이터셋에도 효과적이며, 예측에 대한 확률적 출력을 제공합니다.
  - PID 튜닝 정당성: 가볍고 실시간 게인 분류를 지원하여 빠른 응답이 필요한 시스템에 유리합니다.
- SVMC (Support Vector Machine Classifier)
  - 강점: 데이터 클래스 간에 견고한 결정 경계를 생성하며, 커널(kernel) 기반 분리를 통해 복잡한 패턴을 처리할 수 있습니다.
  - PID 튜닝 정당성: 복잡하고 비선형적인 게인 값의 경계를 효과적으로 다룰 수 있습니다.
- LRC (Logistic Regression Classifier)
  - 강점: 모델의 결과가 해석 가능하며, 확률적 추정치를 출력합니다.
  - PID 튜닝 정당성: 튜닝 결정 과정이 명확하고 설명 가능하여 시스템 제어의 투명성을 높입니다.
전체 Proposed Model(PM) 구조는 일정하게 유지하면서 분류기 모듈만 변경됨

Results and Discussion

4.1 Result Generation Procedures

시스템 구성 요소는 Adder 블록부터 Gain 블록까지 MATLAB을 사용하여 구현
gain optimization process는 ML Classifier를 적용하기 위해 Python(Anaconda 3)을 사용하여 실행
생성된 optimized gain은 final output인 $Y_{op1}, Y_{op2}, Y_{op3}$ 를 시뮬레이션하기 위해 MATLAB으로 다시 전송

4.2 Machine Learning Optimization Using Classifier

optimized gain values( $q_{LK}, q_{Vk}$ )는 Python 환경을 사용하여 분류 - 모델을 통해서 예측하는 값
데이터셋은 75:25 비율로 훈련 및 테스트셋으로 나뉘었으며, 훈련에 225개 샘플이 사용되고 테스트에 75개의 샘플이 사용
정확도 외에도 각 분류기에 대한 confusion matrix를 평가하여 올바른 분류와 오분류 유형을 평가

4.2.1 Logistic Regression Classifier (LRC)

클래스 2와 3 간의 높은 오분류를 보여주며, 클래스 3의 9개 샘플이 클래스 2로 예측되고 클래스 2의 6개 샘플이 클래스 3으로 오분류되었음
이는 모델이 중간 및 낮은 이득 품질을 구별하는 데 어려움을 겪고 있음을 보여줌

4.2.2. Support Vector Machine Classifier (SVMC)

LRC보다 더 나은 클래스 분리를 보여줌 (클래스 1은 더 높은 정확도(26개 정답)로 예측되지만 클래스 3에는 여전히 약간의 혼동이 남아 있음)

4.2.3. Random Forest Classifier (RFC)

높은 대각 지배력을 보여주며, 클래스 1에서 25개의 샘플과 클래스 3에서 15개의 샘플이 올바르게 분류되었음
클래스 1과 2 사이에 약간의 혼동이 있지만 그래도 성능 괜찮음

4.2.4. Naïve Bayes Classifier (NBC)

NBC는 클래스 1에서 3까지 각각 26개, 13개, 18개의 샘플이 올바르게 분류되어 전반적으로 최고의 성능을 보여줌
최소한의 비대각 노이즈는 클래스 전반에 걸쳐 높은 정밀도와 재현율을 나타냄

4.3 Comparative Analysis of the EM and PM from the MATLAB Generated Results

4.3.1 Step Response Graphs(SR)

Step Response = 제어 시스템에서 갑작스러운 입력 변화가 주어졌을 때, 시스템의 출력이 어떻게 변화하는지 시간 경과에 따라 나타낸 그래프
이 그래프를 통해 시스템의 동적 특성과 안정성을 평가할 수 있음
- 기존 모델(GM)의 $Y_1$ 은 약 110초 만에 정상 상태에 도달하고, 제안된 모델(PM)의 $Y_{opt1}$ 은 약 90초 만에 정상 상태에 도달
- 이는 PM이 GM보다 약 20초 더 빠르게 안정적인 상태에 도달함을 의미하며, "지연 시간(delay time)"이 감소했다고 해석됨
- GM은 약 130초 만에 정상 상태에 도달하고, PM은 약 110초 만에 정상 상태에 도달
- 이 또한 PM이 GM보다 약 20초 더 빠르게 안정화됨을 보여줌
- GM $Y_3$ 는 140초에 정상 상태에 도달하고, PM $Y_{opt3}$ 는 90초에 안정화

요약하면, GM은 평균 238.33초의 정착 시간(settling down time)을 갖는 반면, PM은 93.33초의 정착 시간을 가짐
따라서 제안한 모델이 정상 상태로 정착하는 데 지연이 적다는 것을 추론할 수 있음

4.3.2 Stability Margin Plots, Maximum and Minimum Loop Gain Plots (SMP)

GM과 PM에 대한 Maximum and Minimum Loop Gain Plots과 open loop gain plots을 포함
그래프에 대한 설명
- 상단 그래프 (Open loop CG: Minimum and Maximum loop gains)
  - $S$ = Sensitivity function으로, 시스템이 외부 교란에 얼마나 민감한지를 나타내는 값. 낮을수록 외부 교란에 대한 강건성이 높음
  - $T$ = Complementary sensitivity function으로, 시스템이 레퍼런스 신호를 얼마나 잘 추종하는지, 그리고 측정 노이즈에 얼마나 강인한지를 나타냄. 낮을수록 고주파 노이즈에 강함
  - Loop gains = 개루프(open-loop) 전달 함수의 이득을 나타냄
  - Scaled loop gains = 스케일링된 개루프 이득의 최소 및 최대값을 나타냄, robustness 분석에 사용
  - Target loop shape = 설계자가 원하는 이상적인 개루프 이득의 형태를 나타냄. 시스템이 이 점선에 얼마나 잘 부합하는지가 성능과 강인성을 평가하는 중요한 지표가 됨
- 중간 그래프 (Margins at plant inputs: Disk-based stability margins) & 하단 그래프 (Margins at plant outputs: Disk-based stability margins)
  - Stability margins (파란색 선): 플랜트 입력(plant inputs)에서 디스크 기반(disk-based) 안정성 마진을 보여줌. 디스크 기반 마진은 시스템의 불확실성을 고려한 안정성 분석 방법임.
  - Gain Margin (dB): 이득 마진은 시스템이 불안정해지기 전에 이득을 얼마나 더 높일 수 있는지를 나타냄. 값이 클수록 외부 교란에 더 강하고 안정성이라고 평가됨.
  - Phase Margin (deg): 위상 마진은 시스템이 불안정해지기 전에 위상을 얼마나 더 변화시킬 수 있는지를 나타냄. 즉 위상 지연의 양을 정도로 나타냄. 값이 클수록 시스템은 더 안정적이고, 진동 없이 빠르게 목표 값에 도달하는 경향이 있음
- Gain margin의 경우, GM $Y_1$ 은 최소 입력 약 18dB에서 최소 출력 8dB로 감소했으며, 최대 입력은 38dB에서 40dB로 변경되었지만, PM $Y_{opt1}$ 는 최소 입력 및 출력 15dB에서 최대 입력 및 출력 40dB로 안정적이고 변함이 없었음 --> 따라서 PM의 동일한 값의 gain value는 곡선에 큰 변화가 없어 더 높은 안정성과 향상된 정밀도를 나타냄
- Phase margin의 경우, GM $Y_1$ 은 입력 시 약 75도에서 50도로 감소했으며, 최대 입력은 80도에서 90도로 증가되었지만, PM $Y_{opt1}$ 는 최소 입력 및 출력 약 60도에서 최대 입력 및 출력 약 80도까지 일정하게 유지됨 --> 따라서 PM의 위상 여유가 입력과 출력에서 "constant and unchanged (일정하고 변함이 없었다)"는 것은 시스템이 매우 일관되고 안정적인 위상 응답을 보인다는 것을 나타냄

4.3.3. Open-Loop Response and Input Sensitivity Plots (OLR)

개루프 응답은 시스템의 제어 루프를 닫지 않은 상태에서 시스템의 동작을 평가하는 방법
여기서는 '특이값(singular values)'을 주파수에 대해 플로팅하여, 각 최적 이득 계수(optimal gain factor)가 목표 개루프 이득 곡선(target open-loop gain curve)에 얼마나 근접하는지 측정함. 즉, 시스템이 얼마나 정확하게 원하는 이득 특성을 따르는지를 보여줌
- Figure 18b (PM)가 18a (GM)보다 목표(target)에 더 잘 겹쳐지는 것을 보여줌
- Figure 19b (PM)는 19a (GM)에 비해 거의 완벽하게 목표에 겹쳐지는 반면, 19a는 목표에서 크게 벗어남
- Figure 20b (PM)는 20a (GM)에 비해 목표에 완전히, 그리고 완벽하게 겹쳐지는 것을 명확히 보여줌
- GM 플롯을 해당 PM 플롯과 비교하면 모든 PM 최적 이득 계수가 GM의 이득 계수보다 목표 이득 값 곡선에서 더 많이 겹침
- 따라서 PM은 높은 입력 감도로 더 나은 개방 루프 응답을 가짐을 의미