[python/백준/DP] 11057 : 오르막 수

오르막 수

문제

오르막 수는 수의 자리가 오름차순을 이루는 수를 말한다. 이때, 인접한 수가 같아도 오름차순으로 친다.

예를 들어, 2234와 3678, 11119는 오르막 수이지만, 2232, 3676, 91111은 오르막 수가 아니다.

수의 길이 N이 주어졌을 때, 오르막 수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 수는 0으로 시작할 수 있다.

입력

첫째 줄에 N (1 ≤ N ≤ 1,000)이 주어진다.

출력

첫째 줄에 길이가 N인 오르막 수의 개수를 10,007로 나눈 나머지를 출력한다.

풀이

DP문제는 점화식과 규칙을 찾는 것이 중요!

Case를 나누어 규칙 찾기

1. N = 1
   0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

• 끝의 숫자를 기준으로 나오는 횟수
  0은 1번
  1은 1번
  ...
  9는 1번

2. N = 2
   0(0~9), 1(1~9), 2(2~9) ... 8(8~9), 9(9)

• 끝의 숫자 기준으로 나오는 횟수
  0은 1번
  1은 2번 (01, 11)
  2는 3번 (02, 12, 22)
  3은 4번 (03, 13, 23, 33)
  ...
  9는 10번 (19, 29, 39...89, 99)

3. N = 3
   00(0~9)
   01(1~9) 11(1~9)
   02(2~9) 12(2~9) 22(2~9)
   ... ... ...
   09(9) 19(9) 22(9) ... 99(9)

• 끝의 숫자 기준으로 나오는 횟수
  0은 1번 (000)
  1은 3번 (001, 011, 111)
  2는 6번 (002, 012, 022, 112, 122, 222)
  3은 10번 ...

위의 Case를 통해 찾은 규칙은 아래와 같다.

dp[N][0] = dp[N-1][0]
dp[N][1] = dp[N-1][0] + dp[N-1][1]
dp[N][2] = dp[N-1][0] + dp[N-1][1] + dp[N-1][2]

...

dp[N][9] = dp[N-1][0] + dp[N-1][1] ... + dp[N-1][9]

점화식

dp[N][L] = dp[N-1][0] + ... dp[N][L]

코드

n = int(input())

dp = [[0]*10 for _ in range(n+1)]
dp[1] = [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]

for i in range(2,n+1):
    for j in range(10):
        dp[i][j] = sum(dp[i-1][:j+1])
      
print(sum(dp[n])%10007)

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위 문제는 중복조합을 이용해서 풀고싶었지만, 코드 짜는방법을 몰라 점화식으로 풀었다 ㅠ
서치하다 이 블로그에 이산수학을 활용한 풀이를 정리해주셔서 나중에 참고하면 좋겠다. + 최소한의 순열과 조합도 공부해가야겠다.