1] 다이나믹 프로그래밍
> 중복되는 연산을 줄이자
최적의 해를 구하기에 시간이 매우 많이 필요하거나 메모리 공간이 매우 많이 필요한 문제 등은 컴퓨터로도 해결하기 어려운 문제이다. 컴퓨터는 연산 속도에 한계가 있고, 메모리 공간을 사용할 수 있는 데이터의 개수도 한정적이라는 점이 많은 제약을 발생시킨다. 그래서 연산 속도와 메모리 공간을 최대한으로 활용할 수 있는 효율적인 알고리즘을 작성해야 한다.
다만, 어떤 문제는 메모리 공간을 약간 더 사용하면 연산 속도를 비약적으로 증가시킬 수 있는 방법이 있다. 대표적인 방법이 바로 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 기법으로 동적 계획법이라고 표현하기도 한다.
다이나믹 프로그래밍과 동적 할당의 다이나믹?
프로그래밍에서 다이나믹은프로그래밍이 실행되는 도중에라는 의미이다. 예를 들어 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 프로그램 실행 중에 프로그램 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법이다. 하지만 다이나믹 프로그래밍에의다이나믹은 이런 의미가 아니다.
다이나믹 프로그래밍으로 해결할 수 있는 대표적인 예시로 피보나치 수열이 있다. 피보나치 수열은 이전 두 항의 합을 현재의 항으로 설정하는 특징이 있는 수열이다.
수학자들은 점화식을 사용해 수열의 항이 이어지는 형태를 간결하게 표현한다. 점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미하는데, 예를 들어 수열 {a_n}이 있을 때 수열에서의 각 항을 a_n이라고 부른다고 가정하자. 우리는 점화식을 이용해 현재의 항을 이전의 항에 대한 식으로 표현할 수 있다.
이러한 점화식은 인접 3항간 점화식이라고 부르는데 인접한 총 3개의 항에 대해서 식이 정의되기 때문이다.
프로그래밍에서는 수열을 배열이나 리스트로 표현할 수 있다. 수열 자체가 여러 개의 수가 규칙에 따라서 배열된 형태를 의미하는 것이기 때문이다. 파이썬에서는 리스트 자료형이 이를 처리하고, C/C++와 자바에서는 배열을 이용해 이를 처리한다. 리스트나 배열 모두 연속된 많은 데이터를 처리한다는 점은 동일하다.
수학적 점화식을 프로그래밍으로 표현하려면 재귀 함수를 사용하면 간단하다.
def fibo(x):
if x==1 or x==2:
return 1
return fibo(x-1) + fibo(x-2)
print(fibo(4))그런데 피보나치 수열의 소스 코드를 이렇게 작성하면 심각한 문제가 생길 수 있다. 바로 f(n)함수에서 n이 커지면 커질수록 수행 시간이 기하급수적으로 늘어나기 때문이다. 이 소스코드의 시간 복잡도는 빅오 표기법을 이용하여 O(2^n)의 지수시간이 소요된다고 표현한다.
위의 코드를 이용하면 동일한 함수가 반복적으로 호출된다. 이미 한번 계산했지만 호출할 때마다 계산하는 것이다. 즉, f(n)에서 n이 커지면 커질 수록 반복해서 호출하는 수가 많아진다.
이처럼 피보나치 수열의 점화식을 재귀 함수를 사용해 만들 수 있지만, 단순히 매번 계산하도록 하면 문제를 효율적으로 해결할 수 없다. 이러한 문제는 다이나믹 프로그래밍을 사용하면 효율적으로 해결할 수 있다.
다만 항상 다이나믹 프로그래밍을 사용할 수는 없으며, 다음 조건을 만족할 때 사용할 수 있다.
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
- 작은 문제에서 구한 정답은 그것을 포함하는 큰 문제에서도 동일하다.
피보나치 수열은 이러한 조건을 만족하는 대표 문제이다.
메모제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 한 종류로, 한 번 구한 결과를 메모리 공간에 메모해두고 같은 식을 다시 호출하면 메모한 결과를 그대로 가져오는 기법을 의미한다. 메모이제이션은 값을 저장하는 방법이므로 캐싱이라고도 한다.
메모이제이션은 한 번 구한 정보를 리스트에 저장하는 것이다. 다이나믹 프로그래밍을 재귀적으로 수행하다가 같은 정보가 필요할 때는 이미 구한 정답을 그대로 리스트에서 가져오면 된다.
d = [0] * 100
def fibo(x):
if x == 1 or x == 2:
return 1
if d[x] != 0:
return d[x]
d[x] = fibo(x-1) + fibo(x-2)
return d[x]
print(fibo(99))정리하자면 다이나믹 프로그래밍이란 큰 문제를 작게 나누고, 같은 문제라면 한 번씩만 풀어 문제를 효율적으로 해결하는 알고리즘 기법이다.
다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 다이나믹 프로그래밍은 문제들이 서로 영향을 미친다는 것이다. 퀵 정렬을 예로 들면, 한번 기준 원소가 자리를 변경해서 자리를 잡게 되면 그 기준 원소의 위치는 더 이상 바뀌지 않고 그 피벗값을 다시 처리하는 부분 문제는 존재하지 않는다. 반면에 다이나믹 프로그래밍은 한 번 해결했던 문제를 다시금 해결한다는 점이 특징이다. 그렇기 때문에 이미 해결된 부분 문제에 대한 답을 정해놓고, 이 문제는 이미 해결이 됐던 것이니까 다시 해결할 필요가 없다고 반환하는 것이다. 재귀 함수를 이용하는 방법(메모이제이션)에서는 한 번 푼 문제는 그 결과를 저장해 놓았다가 나중에 동일한 문제를 풀어야 할 때 이미 저장한 값을 반환한다.
재귀 함수를 사용하면 컴퓨터 시스템에서는 함수를 다시 호출했을 때 메모리 상에 적재되는 일련의 과정을 따라야 하므로 오버헤드가 발생할 수 있다. 따라서 재귀함수 대신에 반복문을 사용하여 오버헤드를 줄일 수 있다. 일반적으로 반복문을 이용한 다이나믹 프로그래밍이 더 성능이 좋기 떄문이다.
이처럼 재귀 함수를 이용하여 다이나믹 프로그래밍 소스코드를 작성하는 방법을, 큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제를 호출한다고 하여 탑다운 방식이라고 말한다. 반면에 단순히 반복문을 이용하여 소스코드를 작성하는 경우 작은 문제부터 차근차근 답을 도출한다고 하여 보텀업 방식이라고 말한다.
d= [0] * 100
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99
for i in range(3,n + 1):
d[i] = d[i-1] + d[i-2]
print(d[n])탑다운 방식은 하향식이라고도 하며, 보텀업 방식은 상향식이라고도 한다. 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식이다. 보텀업 방식에서 사용되는 결과 저장용 리스트는 DP테이블이라고 부르며, 메모이제이션은 탑다운 방식에 국한되어 사용되는 표현이다.
메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미하므로, 다이나믹 프로그래밍과는 별도의 개념이다. 한 번 계산된 결과를 어딘가에 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 ㅜ이해 활용하지 않을 수도 있다.
문제를 푸는 첫 번째 단계는 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이다. 특정한 문제를 완전 탐색 알고리즘으로 접근했을 때 시간이 매우 오래 걸리면 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있는지 해결하고자 하는 부분 문제들의 중복 여부를 확인해봐야한다.
일단 단순히 재귀함수로 비효율적인 프로그램을 작성한 뒤에 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 즉 메모이제이션을 적용할 수 있으면 코드를 개선하는 방법도 좋은 아이디어이다.
또한 가능하다면 재귀 함수를 이용하는 탑다운 방식보다는 보텀업 방식으로 구현하는 것을 권장한다. 시스템상 재귀 함수의 스택 크기가 한정되어 있을 수가 있기 때문이다. 실제로 앞에서 제시한 재귀적인 피보나치 수열의 소스코드에서 오천 번째 이상의 큰 피보나치 수를 구하도록 하면 recursion depth와 관련된 오류가 발생할 수 있다. 이 경우 sys 라이브러리에 포함되어 있는 setrecursionlimit()함수를 호출하여 재귀 제한을 완화할 수 있다는 점 기억!
2] 1로 만들기
정수 X가 주어질 때 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지이다.
1. X가 5로 나누어떨어지면, 5로 나눈다.
2. X가 3으로 나누어떨어지면, 3으로 나눈다.
3. X가 2로 나누어떨어지면, 2로 나눈다.
4. X에서 1을 뺀다.
X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 1을 만들려고 한다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하라.
X = int(input())
def get_x(X):
cnt = [0] * 30_001
cnt[2] = 1
cnt[3] = 1
cnt[4] = 2
cnt[5] = 1
for i in range(6, X+1):
min_temp = []
if i%5 == 0:
min_temp.append(1+cnt[i//5])
elif i%3 ==0:
min_temp.append(1+cnt[i//3])
elif i%2 == 0:
min_temp.append(1+cnt[i//2])
min_temp.append(1+cnt[i-1])
cnt[i] = min(min_temp)
return cnt[X]
print(get_x(X))
3] 개미 전사
개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다. 메뚜기 마을에는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져있다. 각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며 개미 전사는 식량팡고를 선택적으로 약탈하여 식량을 빼았을 예정이다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창곡가 공격받으면 바로 알아챌 수 있따. 따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최대한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 한다.
개미 전사는 식량창고가 일직선상일 때 최대한 많은 식량을 얻기를 원한다.
개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 떄 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하라.
n = int(input())
array = list(map(int,input().split()))
d = [0] * 100
d[0] = array[0]
d[1] = max(array[0],array[1])
for i in range(2,n):
d[i] = max(d[i-1],d[i-2]+array[i])
print(d[n-1])4] 바닥 공사
가로의 길이가 N, 세로의 길이가 2인 직사각형 형태의 얇은 바닥이 있다. 유진이는 이 얇은 바닥을 1*2의 덮개, 2*1의 덮개, 2*2의 덮개를 이용해 채우고자 한다.
이때 바닥을 채우는 모든 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하라.
n = int(input())
d = [0] * 1001
d[1] = 1
d[2] = 3
for i in range(3,n+1):
d[i] = (d[i-1] + 2*d[i-2]) % 796796
print(d[n])5] 효율적인 화폐 구성
N가지 종류의 화폐가 있다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 한다. 이 때 각 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있으며, 사용한 화폐의 구성은 같지만 순서만 다른 것은 같은 경우로 구분한다. 예를 들어 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수이다.
