[Differential Equation] Bessel function

Bessel 함수는 원형 또는 구면 좌표계에서 나타나는 미분방정식의 해로 자주 등장하는 특수 함수이다. 물리학, 공학, 통계학, 특히 파동방정식, 열전달, 양자역학, 베이지안 통계 등의 분야에서 널리 사용된다.

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1. 역사

프리드리히 베셀(Friedrich Wilhelm Bessel): 1817년, 천체 운동 계산을 위해 이 함수를 연구했다. 이후 물리학의 다양한 파동 및 진동 문제에 자주 등장하면서, 수학적으로 일반화되었다. 특히 원형/구면 대칭 문제를 푸는 데 유용하여, Cylindrical harmonics(원기둥 조화 함수)의 해로 사용된다.

2. Bessel 방정식

다음과 같은 2차 선형 미분방정식의 해를 Bessel 함수라 부른다:

이 방정식을 만족하는 함수들은 다음 두 가지 주요 해로 나뉜다:

• 제1종 베셀 함수: $J_\nu(x)$
• 제2종 베셀 함수: $Y_\nu(x)$

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3. 주요 종류

3.1 제1종 베셀 함수 (Bessel function of the first kind)

기호: $J_\nu(x)$

이 함수는 원점을 포함하는 해로, 다음과 같이 멱급수로 정의된다:

• 여기서 $\Gamma$는 감마 함수
• 정수 차수일 경우 $\nu = n \in \mathbb{Z}$

3.2 제2종 베셀 함수 (Bessel function of the second kind)

기호: $Y_\nu(x)$

$J_\nu(x)$ 하나만으로는 일반해를 표현할 수 없기 때문에, 또 다른 독립해인 $Y_\nu(x)$를 정의한다. $Y_\nu(x)$는 $J_\nu(x)$를 사용하여 다음과 같이 정의된다:

• $\nu$가 정수일 경우 극한을 취해서 정의해야 함 (왜냐하면 분모가 0이 되므로)

3.3 수정 베셀 함수 (Modified Bessel Functions)

• 제1종 수정 베셀 함수: $I_\nu(x)$
• 제2종 수정 베셀 함수: $K_\nu(x)$

이는 방정식의 $x^2 - \nu^2$ 항이 $x^2 + \nu^2$로 바뀐 형태의 해이다. 이 방정식은 주로 지수적 증가/감소를 포함하는 문제(예: 열전달, 통계 정규화 상수 등)에서 나타난다.

특히 von Mises 분포에서는 $I_0(\kappa)$가 정규화 상수로 사용됨.

4. (기타) 제0종 수정 베셀 함수 $I_0(x)$

$I_0(x)$는 일반적인 $J_0(x)$와 달리 진동하지 않고, $x$가 증가할수록 지수적으로 증가한다. 지수 함수와 유사한 곡선을 가지며, 원형 분포나 라플라스 연산에서 자주 등장한다.

또는 다음과 같은 적분 형태로도 정의된다:

다음과 같은 성질을 가진다.

• $I_0(x)$는 실수 $x$에 대해 항상 양수이다.
• $x \to 0$일 때: $I_0(0) = 1$
• $x \to \infty$일 때: $I_0(x) \sim \frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}$ (지수적으로 증가)
• $I_0(x)$는 미분 가능하며, 매끄럽고 단조 증가한다.
• $\frac{d}{dx} I_0(x) = I_1(x)$

von Mises 분포와의 관계는 다음과 같다. 구체적으로 정규화 상수로 $I_0(\kappa)$가 등장한다:

여기서 $I_0(\kappa)$이 제0종 수정 베셀 함수로, 정규화 상수를 보장하는 역할을 한다.

• $\kappa = 0$일 때 $I_0(0) = 1$이므로 $f(\theta) = \frac{1}{2\pi}$로 균일 분포가 된다.
• $\kappa \to \infty$일수록 $I_0(\kappa)$도 증가하여, 밀도 함수는 점점 $\mu$에 집중된다.

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5. 요약표

이름	기호	설명
제1종 베셀 함수	$J_\nu(x)$	원점을 포함하는 진동 해
제2종 베셀 함수	$Y_\nu(x)$	$J_\nu(x)$와 독립인 해, $x=0$에서 발산
제1종 수정 베셀 함수	$I_\nu(x)$	지수적으로 증가, 주기성 없음
제0종 수정 베셀 함수	$I_0(x)$	von Mises 분포에서 사용, 지수 증가형 함수
제2종 수정 베셀 함수	$K_\nu(x)$	$I_\nu(x)$와 독립인 감소 해

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