백준 1699번

제곱수의 합

문제

어떤 자연수 N은 그보다 작거나 같은 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 11=32+12+12(3개 항)이다. 이런 표현방법은 여러 가지가 될 수 있는데, 11의 경우 11=22+22+12+12+12(5개 항)도 가능하다. 이 경우, 수학자 숌크라테스는 “11은 3개 항의 제곱수 합으로 표현할 수 있다.”라고 말한다. 또한 11은 그보다 적은 항의 제곱수 합으로 표현할 수 없으므로, 11을 그 합으로써 표현할 수 있는 제곱수 항의 최소 개수는 3이다.

주어진 자연수 N을 이렇게 제곱수들의 합으로 표현할 때에 그 항의 최소개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000)

출력

주어진 자연수를 제곱수의 합으로 나타낼 때에 그 제곱수 항의 최소 개수를 출력한다.

예제

알고리즘 분류

• 수학
• 다이나믹 프로그래밍

코드

import java.io.*;

public class Main {	
	public static void main(String[] args) throws IOException {
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		
		int N = Integer.parseInt(br.readLine());
		
		int dp[] = new int[N+1];
		
		dp[1] = 1;
		for(int i=2; i<=N; i++) {		
			dp[i] = 10001;
			
			for(int j=1; j<=i/2; j++) {
				if(j*j == i) {
					dp[i] = 1;
					break;
				}
				
				dp[i] = Math.min(dp[i], dp[j] + dp[i-j]);
			}
		}
		
		System.out.println(dp[N]);
	}
}

풀이

DP 문제는 역시 규칙을 잘 찾아서 점화식을 잘 세우는 것이 중요하다.

이번 규칙은 좀 찾기 어려웠는데,
예를들어 DP[10]을 구하려 하면,
DP[1] + DP[9] = 2
DP[2] + DP[8] = 4
DP[3] + DP[7] = 7
DP[4] + DP[6] = 4
DP[5] + DP[5] = 4

중 최솟값인 2가 정답이다. 이런 규칙인데, 다만 N이 제곱수 일때는 1이다.
ex> DP[4] = DP[2*2] = 1
ex> DP[9] = DP[3*3] = 1