통계 복습(2)

yuns_u·2022년 8월 23일

통계

💙 확률과 확률분포

확률
확률분포와 확률변수
주요 확률분포

확률 (probability)

💙 정의 💙
정한 조건 아래에서 어떤 사건이나 사상이 일어날 가능성의 정도
예) 동전 던지기에서 앞면이 나올 가능성, 주식 투자로 이익을 볼 가능성

기본 용어

표본점(sample point)
- 한 번의 실험 또는 관측으로부터 얻을 수 있는 결과
표본공간(sample space)
- 어떤 실험이나 관측에서 발생가능한 모든 결과의 집합
- $\Omega$ 또는 $S$ 로 표기
사상(event)
- 하나 또는 둘 이상의 단일 사상의 집합: 사건
- 표본공간의 부분 집합

확률의 종류

객관적 확률

실험이나 관찰의 필요에 따라 구분
이미지출처

논리적 확률(수학적 확률, 고전적 확률)
$P(A)={n(A)\over N}$
- 어떤 한 시행에서 나타날 수 있는 결과의 개수(n)가 정해져 있음
- 각각의 결과가 나타날 가능성이 모두 동일할 것이라는 논리적 추론에 근거를 둠.
- 한계점
  - 현실세계에서 단일사상이 발생할 가능성이 동일하지 않는 경우도 존재
    (예) 특정한 치료법에 의해 질병이 치료될 확률
  - 무한한 근원사상으로 이루어진 표본공간 존재
    (예) 한 공정에서 불량품이 생산될 확률을 구하는 경우
경험적 확률(통계적 확률)
$P(A)={\displaystyle\lim_{n\rarr\infin}{m\over n}}$
- 동일한 조건 하에서 같은 실험을 반복했을 때 어떤 특정한 사건(event)이 발생한 비율, 즉 상대도수로 계산.
- 실험의 반복 횟수는 충분히 커야 함.
  이미지출처

주관적 확률

논리적 확률, 경험적 확률 : 계산된 확률을 근간으로 하여 의사결정이 가능
특정사건이 발생할 가능성은 개인적인 지식과 경험 또는 가치관에 따라 달라질 수 있는 확률
(예) 야구에서 주자가 2루에 있을 때 감독은 어떤 대타를 기용할 것인인가?

공리적 해석

💡 참고
공리(公理, axiom) : 증명할 수는 없으나 옳다고 판단되는 명제

A.N. Kolmogorov의 확률의 공리(확률론의 기초)
표본공간을 정의역으로 하며, 다음 세 가지 공리를 만족하는 함수를 확률로 정의
표본공간상에서 아래의 공리를 만족하는 P()를 확률측도(probability measure)라고 하고 P(A)를 사건 A의 확률이라고 합니다.

임의의 사상 A에 대하여

1) 0 $\leq P(A) \leq$ 1 : 어느 사건도 확률이 음수가 될 수 없고 1보다 클 수도 없음.

2) $P(S) = 1$ : 어떤 실험의 결과는 표본공간 S에서 항상 일어남

3) 서로 배반인 사상 $A_1,A_2, ...$ 에 대하여 $P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup ...) = P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+...$ 를 만족할 때 P(A)를 사상 A의 확률이라고 한다.

위의 확률의 공리를 통해 알 수 있는 확률의 성질
확률의 기본 성질

$P(A^c) = 1 - P(A)$
$A ⊂ B 이면 P(A) ≤P(B)$
$P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)$
$P(AUB) ≤ P(A) + P(B)$

주변확률, 결합확률, 조건부 확률

공리적 확률을 확장하면 주변확률, 결합확률, 조건부확률을 얻어낼 수 있다.

주변확률(marginal probability, 한계확률)

두 변수 중 한 변수만을 고려한 확률.
개별 사건의확률이지만 결합사건들의 합으로 표시될 수 있는 확률이다.
변수의 결합분포를 기록한 테이블에서 주변에 위치한 확률을 의미한다. X를 0으로 고정할 때 예를 들어보면 P(X=0,Y=0) + P(X=0,Y=1) = P(X=0)이 도출된다. X가 고정되었지만 Y값은 계속 변하는데 위의 확률은 Y값에 상관없이 X=0인 주변확률(한계확률)이라고 표현할 수 있다.