알고리즘 - 그래프 위상 정렬

위상 정렬(Topology Sort)

위상 정렬은 정렬 알고리즘의 일종으로 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례 대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘이다. 이론적으로는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것이다. 현실에서 위상 정렬을 수행하는 예로는 선수과목을 고려한 학습 순서 설정을 들 수 있다.

원리

• 진입차수(indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

다음의 알고리즘을 이용하여 간단하게 위상 정렬을 수행할 수 있다.

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
   2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

위의 알고리즘에선 큐가 빌 때까지 큐에서 원소를 계속 꺼내서 처리하는 과정을 반복한다. 이때 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다. 사이클이 존재하는 경우 사이클에 포함되어 있는 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다. 또, 만약에 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우, 여러 가지의 답이 존재할 수 있다.

Code

from collections import deque

v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수 0으로 초기화
indegree = [0] * (v+1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입차수 1 증가
    indegreep[b] += 1
    
    
def topology_sort():
    result = []
    q = deque()
    
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v+1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)
            
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
                
    for i in result:
        print(i, end=" ")


topology_sort()

시간 복잡도

위상 정렬의 시간 복잡도는 O(V+E)이다. 위상 정렬을 수행할 때는 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 간선을 차례대로 제거해야 한다. 결과적으로 노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 O(v+E)의 시간이 소요된다.